2023高考复习专项练习二轮数学 高考原生态满分练2　三角函数与解三角形

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高考原生态满分练2　三角函数与解三角形(本题满分12分)(2020·全国卷Ⅱ,17)在△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求角A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.学生解答教师批阅分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).分析2:第(1)问求得cos A=-后,不说明A∈(0,π),直接得出A=.分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值时,不说明等号成立的条件.分析4:方法一中,在得到AC+AB≤2后直接下结论△ABC周长的最大值为3+2,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.满分答题   高考原生态满分练2　三角函数与解三角形解 (1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB, 2分由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A,∴cos A==-, 3分∵A∈(0,π),∴A= 4分(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9. 6分∵AC·AB(当且仅当AC=AB时取等号), 7分∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-(AC+AB)2, 9分∴0<AC+AB≤2(当且仅当AC=AB时取等号). 11分∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+2故△ABC周长的最大值为3+2 12分(方法二)由正弦定理及(1)得=2,∴AB=2sin C,AC=2sin B, 6分从而AB+AC+BC=2sin C+2sin B+3=2sin-B+2sin B+3=2sin+3. 9分∵0<B<,<B+, 10分因此当B+,即B=时,AB+AC+BC取最大值3+2,故△ABC周长的最大值为3+2 12分