2023年名校教研联盟高考数学联考试卷（理科）（三）

这是一份2023年名校教研联盟高考数学联考试卷（理科）（三），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年名校教研联盟高考数学联考试卷（理科）（三）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，，则(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知，为单位向量，若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  的展开式中的系数为(    )A.  B.  C.  D. 5.  定义域为的函数满足，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知直线，，两两异面，且，，下列说法正确的是(    )A. 存在平面，，使，，且，，
B. 存在平面，，使，，且，，
C. 存在唯一的平面，使，且，与所成角相等
D. 存在平面，使，，且7.  我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  记为等差数列的前项和，若，，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则(    )A.  B.  C.  D. 11.  定义域为的函数的导数为，若，且，则(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，若，，，，则该球的体积为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知曲线过点，则在点处的切线方程为______ ．14.  已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，则多面体的体积为______ ．15.  有甲、乙、丙三个开关和，，三盏灯，各开关对灯的控制互不影响当甲闭合时，亮，当乙闭合时，亮，当丙闭合时，亮若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在亮的条件下，也亮的概率为______ ．16.  抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合设抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，且，若在，处的切线交于点，为的外心，则的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在中，，．
求；
求的外接圆与内切圆的面积之比．18.  本小题分
某中学为了调查学生每周运动时长，随机从全校男生和女生中各抽取了名学生进行问卷调查，并对每周不同运动时长所对应的人数进行了统计，得到如表数据：  每周平均运动时长少于小时每周平均运动时长不少于小时男生女生能否有的把握认为男生与女生每周平均运动时长有差异？
现随机从全校男生和女生中各随机抽取名学生，记其中男生和女生中每周平均运动时长不少于小时的人数分别为，，且记，证明：．
附：  19.  本小题分
如图，直三棱柱的所有棱长均相等，为的中点．
证明：；
设，分别是棱，上的点，若点，，，在同一平面上，且的面积是的面积的倍，求二面角的正弦值．
20.  本小题分
已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，点，且．
求的方程；
过的直线交于，两点，证明：直线平分．21.  本小题分
已知函数，．
求的单调区间；
证明：；
设，，证明：．22.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求的普通方程和的直角坐标方程；
求上的点到距离的最小值．23.  本小题分
已知函数，且，证明：
；
．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
则，
故，
所以，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，，
则．
故选：．
先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，为单位向量，，
所以，
解得，
则．
故选：．
根据题意可得，再计算即可．
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意，可得，
要求展开式中的的系数，只需展开式中的系数，
又由展开式的通项为，
其中，，
令，可得，
当时，可得，则的系数，；
当时，可得，则的系数，；
当时，可得，则的系数，；
当时，可得，则的系数，；
当时，可得，则的系数，，
所以展开式中的系数为．
故选：．
化简得到，转化为求解展开式中的系数，结合二项展开式的通项，得到，分类讨论，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：因为，所以，
令，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，
，
所以．
故选：．
由，可得，再根据等比数列的前项和公式即可得出答案．
本题主要考查了函数值的求解，等比数列求和公式的应用是求解问题的关键，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：只有当时才存在平面，，使，，且，，故A错误；
若存在平面，，使，，且，，则此时与不平行，故B错误；
存在两个平面，使，且，与所成角相等，故C错误；
存在平面，使，，且，故D正确．
故选：．
A.由时判断；由与不平行判断；由存在两个平面判断；由线面垂直的判定定理判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
 7.【答案】 【解析】解：当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，
车轮转过的角度为，点的初始位置为，
设车轮的中心为，
当时，作，垂足为，如下图所示，

则，
到铁轨表面的距离为；
当时，，作，垂足为，如下图所示，

则，
到铁轨表面的距离为；
当时，，作，垂足为，如下图所示，

则，
到铁轨表面的距离为；
当时，作，垂足为，如下图所示，

则，
到铁轨表面的距离为；
当或或或时，到铁轨表面的距离满足；
当时，点到铁轨表面的距离为，，
综上所述：点到铁轨表面的距离为．
故选：．
根据扇形弧长公式可确定车轮转过的角度，根据的范围作出图形，即可确定所求距离．
本题主要考查了弧长公式，考查了圆的几何性质，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：设，则，
，即，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离小于等于，
，解得，
的最大值为．
故选：．
设，则，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，，又，
等差数列的公差；
对于，，，，符号不确定，
则符号不确定，A 错误；
对于，符号不确定，符号不确定，B错误；
对于，，又符号不确定，
，大小不确定， C错误；
对于，
，，D正确．
故选：．
由已知可得，，然后利用通项公式或作差法可判断各个选项．
本题考查等差数列的通项与前项和，考查比较大小，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：如图所示：

设与渐近线交于点，为坐标原点，则为线段的中点，
又为的中点，则，
，，
由渐近线的方程为，即，
可得焦点到渐近线的距离为，则，
又由双曲线的定义，则，即，
在中，，解得，
，，
设，则，，
在中，，即，解得，
，
在中，则．
故选：．
设与渐近线交于点，得到，进而得到，根据焦点到渐近线的距离求得，再由双曲线的定义得到，在中，利用勾股定理求得，得到，，设，在中，求得，结合，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：构造函数，，，
，
，
，，
函数在上单调递增，函数在上单调递减．
A.，，，
下面证明，即证明，
令，，
，在上单调递减，
，因此不正确．
B.，，，因此不正确；
C.，而，因此不正确．
D.，
，因此D正确．
故选：．
构造函数，，由，可得，，根据，可得函数与在上单调性，进而判断出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、构造方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 12.【答案】 【解析】解：每个底面四个顶点共圆的直四棱柱，两底面四边形外接圆圆心的中点到各顶点距离相等，则该四棱柱的所有顶点在同一球面上，
如图，把三棱锥补成一个直四棱柱，且底面四边形存在外接圆，如图，

因为，，则，同理，
而，即有，，且，
于是，为四边形的外接圆直径，
设四棱柱的侧棱长为，有，，
因此，解得，
则，即有，，
是等边三角形，，符合题意，
直四棱柱的外接球球心到底面距离，
四边形外接圆半径，则球半径，
所以该球的体积为．
故选：．
根据给定条件，把三棱锥补形成底面为圆内接四边形的直四棱柱，再利用该四棱柱的结构特征求出球半径作答．
本题考查了球的体积计算，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为曲线过点，
所以，解得，
所以：，
所以，
所以在点处的切线的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
利用点在曲线上及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解．
本题考查利用导数求解曲线的切线问题，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：多面体的体积等于三棱柱的体积与三棱台的体积之差，

其中三棱柱的体积为，
三棱台的体积为，
所以多面体的体积为．
故答案为：．
利用多面体的体积等于三棱柱的体积与三棱台的体积之差来计算．
本题考查了多面体的体积计算，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：设事件为灯亮，事件为灯亮，
事件为开关甲闭合，事件为开关乙闭合，
事件为开关丙闭合，则所求概率为 ．
其中，，
所以．
故答案为：．
若同时亮，则可能闭合甲开关或不闭合甲开关且同时闭合乙，丙开关．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：如图所示：

由题意得的焦点为，显然当轴时，不垂直于，
设过点的直线的斜率为则直线的方程为，
联立，整理得，即，
设，，则，，
又，，
，即，
即，
，即，解得，
，
设，与轴正方向的夹角分别为，，
由抛物线的性质得，，故，
且由圆的性质得，
是等腰直角三角形，其中，
故．
故答案为：．
由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，韦达定理，由得，利用弦长公式求出，利用抛物线的光学性质及圆的性质知是等腰直角三角形，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：设内角，，的对边分别为，，，
，
由正弦定理得，
又由余弦定理．
解得，
又在中，，
所以由正弦定理可知；
设的外接圆与内切圆的半径分别为，，
由及正弦定理可知，，
由三角形面积公式可知：，
且的周长为，
所以，故，
所以的外接圆与内切圆的面积之比为． 【解析】先利用正弦定理角化边和余弦定理，用表示出，，再利用正弦定理求；
先利用正弦定理将外接圆半径用表示，再利用三角形的面积将内切圆半径用表示，进而可得外接圆与内切圆的面积之比．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由已知得列联表：  每周平均运动时长少于小时每周平均运动时长不少于小时合计男生女生合计，
所以没有的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异．
男生中每周平均运动时长不少于小时的概率，
女生中每周平均运动时长不少于小时的概率，
根据题意可知，于是，，
随机变量的可能值为，，，，，
，
，

，
，
，
因此，
所以． 【解析】根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；
利用二项分布的期望公式求出，，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式结合期望的定义求出作答．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的期望的应用，化归转化思想，属中档题．
 19.【答案】解：证明：连接，延长，交于点，连接，
由题意知：四边形为正方形，；
，为中点，，又，
，，平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
，，，平面，
平面，平面，
；
在的条件下，若，，，在同一平面上，则，，在同一直线上，
过作，交于，
设，，则，
，，
，
解得：，，，
以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取；
设平面的法向量，
则，取；
，
二面角的正弦值为． 【解析】延长，交于点，根据线面垂直的判定与性质可证得，结合正方形中可证得平面，由线面垂直的判定可证得结论；
根据面积比可求得所需的长度，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
 20.【答案】解：根据题意有，，设，则，，
当时，，所以，
根据椭圆的几何性质可知，所以的方程为；
证明：设的方程为，代入的方程有，
设，
则，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以点到直线，的距离分别为，，
若直线平分，只需满足，
即，
整理化简得，
即，
故只需满足，
其中，
，
故，所以，
所以直线平分． 【解析】由题意可得，，由，即可求解；
设的方程为，代入的方程，设，可得直线的方程为，直线的方程为，由题意只需，证明即可，
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与方程的综合应用，考查运算求解能力，属中档题．
 21.【答案】解：已知函数，
因为，
所以的定义域为，，
因为，且在，上单调递增，为增函数，
所以有两个单调递增区间，分别为，；
证明：已知，函数定义域为，
因为，
所以是偶函数，
此时，等价于当时，，
不妨设，函数定义域为，
可得，单调递减，
则，
所以当时，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，；当时，，单调递增；
当时，，
又，，
所以存在唯一，使得，
即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，当时，，
故：
证明：因为，，
易知，
所以，
整理得，
又，
因为，
由知在单调递增，定义域为，，
所以，
当且仅当时，即时，成立，
所以
，
由知，当时，，
所以，
故． 【解析】由题意，求出函数的定义域，利用分离常数法，结合复合函数的单调性进行求解即可；
利用的奇偶性，将问题转化成求证当时，，分别构造函数和，对两函数进行求导，结合导数即可求证；
利用已知条件得到，结合和的单调性可知当时，成立，再由二倍角正弦公式进行化简以及中所得信息即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 22.【答案】解：由题意，
在：为参数中，
的普通方程为，其中，．
在直线： 中，
．
的直角坐标方程为：；
由题意，设上的点到距离为，由可知，
，
当时，等号成立．
上的点到距离的最小值为． 【解析】由曲线的参数方程消去即可得到曲线的普通方程，利用三角函数公式即可得到直线的直角坐标方程；
由距离公式即可得到上的点到距离的最小值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．
 23.【答案】证明：根据题意有，，，
所以，即，，即，
由可知，
有，即，
由可知，，
有，即，
综上，．
由得，
由得，
由得，
得，即． 【解析】利用绝对值不等式的解法及不等式的性质即可求解，
根据中的两边同时平方及不等式的性质即可求解．
本题主要考查不等式的证明，属于中档题．