2023年广东省中考数学一模试题分项汇编 专题6 圆

这是一份2023年广东省中考数学一模试题分项汇编 专题6 圆，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省中考数学一模试题分项汇编
专题07 圆

一、单选题
1．如图，在中，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )

A．π B．π C．π D．π
3．如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 (  )

A． B．
C． D．
4．如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（    ）．

A．45° B．60° C．72° D．36°
5．如图，点，，是上的三个点，若，则的度数为（    ）

A．76° B．38° C．24° D．33°
6．已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
8．最近“羊了个羊”游戏非常火热，陈老师设计了一个数学版“羊了个羊”游戏，如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动)那么小羊在草地上的最大活动区域面积是(    )

A． B． C． D．
9．如图，以为直径的中，点B，C为圆周上两点，已知，，则的长是（    ）

A． B．3 C．4 D．

二、填空题
10．已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是______．
11．已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是___________
12．如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为______．

13．如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A＝50°，则∠C＝_____度．

14．从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为__________．

15．如图，△ABC中，AC=，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是______．

16．如图，是的直径，，交于点，连接，若，则的度数为_____．


三、解答题
17．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．

18．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．

(1)尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若与相切，求（1）中作图得到的的度数．
19．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)当，时，求的长．
20．如图，是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且平分，过点C作⊙O的切线交的延长线于点P，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．如图，在中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．

23．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的值．
24．如图，四边形内接于，是的直径，平分交于点E，点P在延长线上，．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：：
25．如图，AB是的直径，弦，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使，连接AF交于点D，连接BD，BF．

(1)求证：直线BF是的切线；
(2)若AF长为，求BD的长．
26．如图所示，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点B，连接．若．

(1)求证：AD为的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
27．如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的⊙交于点G．交于点F．恰为的直径．

(1)求证：与⊙相切．
(2)当，时，求⊙的半径．
28．如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接、．

(1)证明：是的切线；
(2)若圆的半径，，求的长；
(3)求证：．
29．如图，是的直径，点是上异于、的一点，点是角平分线上一点，连接、，其中交于点，交于点，且点是的中点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若点是的中点，求的值；
(3)若，，求的长．
30．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)如果，，
①求的长；
②求的面积．

参考答案：
1．A
【来源】2023年广东省佛山市高明区一模数学试卷
【分析】直接利用“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”解题即可．
【详解】解：∵ 在中，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
2．C
【来源】2016年初中毕业升学考试（吉林长春卷）数学（带解析）
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，弧长的计算，解决此题的关键是算出所对的圆心角．
3．A
【来源】人教版九年级数学（上）第24章《圆》检测题
【详解】
连接OC，过O作OMAC于M，
∵∠AOB＝120°，C 是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC =60°，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴△ABC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△BOC的边AC上的高是=，
∴阴影部分的面积是=.
故选：A.
4．B
【来源】四川省雅安市2021年中考数学真题
【分析】根据菱形性质，得；连接，根据圆的对称性，得；根据等边三角形的性质，得，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵四边形为菱形
∴
连接

∵四边形为⊙的内接四边形
∴
∴，为等边三角形
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．
5．B
【来源】重庆市第一中学校2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得．
【详解】解：∵点，，是上的三个点，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理的运用，解题的关键是根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答．
6．A
【来源】广西壮族自治区南宁市良庆区银海学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
【分析】判断出∠AOB＝90°，再利用圆周角定理求解．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
7．A
【来源】海南省省直辖县级行政单位临高县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．

【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
8．B
【来源】2023年广东省佛山市南海区大沥镇初中毕业生适应性学业监测数学试题（一模）
【分析】根据题意画出图形，小羊在草地上的最大活动区域面积等于大扇形的面积加上小扇形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，

大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积=；
小扇形的圆心角是，半径是，
则面积，
则小羊在草地上的最大活动区域面积(m2)．
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，根据题意画出图形是解题的关键．
9．D
【来源】2023年广东省茂名市化州市中考一模数学试卷
【分析】根据圆周角定理得，再根据为的直径，得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，关键是根据圆周角定理得．
10．
【来源】江苏省无锡市东林集团2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11．
【来源】广东省汕头市龙湖区2022-2023学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
则圆锥的侧面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．
【来源】2023年广东省广州市天河区中考一模数学试卷
【分析】连接，，，根据切线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得，，根据等腰三角形的性质可得、的长，从而可得的长．
【详解】解：连接，，，

、与相切于、两点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．20
【来源】2019年江西省赣州市中考数学二模试题
【分析】首先连接OB，由AB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可得OB⊥AB，又由∠A＝50°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．
【详解】解：连接OB，如图：

∵AB与⊙O相切于点B
∴OB⊥AB
∴∠OBA＝90°
∵∠A＝50°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝40°
∴．
故答案是：
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．
【来源】湖北省荆门市2022一2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题
【分析】连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，由扇形面积公式即可计算出扇形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
由于剪出的是圆心角为90°的最大扇形，则是圆形铁皮的直径，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了扇形面积、不规则图形面积，关键是清楚最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点．
15．
【来源】2022年山东省泰安市高新区中考数学一模试题
【分析】根据菱形的性质得到∠C=∠AFE，根据圆周角定理得到∠AFE=∠AOE，根据切线的性质得到OA⊥AC，OE⊥CE，求出∠C=60°，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ACEF是菱形，
∴∠C=∠AFE，
由圆周角定理得：∠AFE=∠AOE，
∵⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，
∴OA⊥AC，OE⊥CE，
∴∠C+∠AOE=180°，
∴∠C=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∴OB=2OE，BC=2AC=2，∠BOE=60°，
∴AB=，
∴OA+OB=OA+2OE=3OA=，
∴OA=OE=，OB=，
∴BE=，
∴S阴影部分=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
16．/27度
【来源】2023年广东省广州市天河区中考一模数学试卷
【分析】利用圆周角定理解答即可．
【详解】∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．直径的长为寸
【来源】2023年广东省佛山市高明区一模数学试卷
【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．
【详解】接：连接，设的半径为r，
∵是的直径，，
∴，，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得，
∴，即直径的长为寸．

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
18．(1)见解析
(2)


【来源】2023年广东省广州市天河区中考一模数学试卷
【分析】（1）作的角平分线交于点E，则点E即是劣弧的中点；
（2）先求出，再根据即可得到答案．
【详解】（1）如图，点E即为所求．

（2）与相切，为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；
由（1）可得
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)证明见解析
(2)

【来源】2023年广东省肇庆市封开县一模数学试卷
【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论；
（2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得，即，又因为，根据三线合一得到D是的中点，由求出的长，再由的长，利用勾股定理求出的长，最后根据的面积列出等式，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的切线．
（2）连接，
为⊙O的直径，
，
又，且，
，
在中，，，
根据勾股定理得：
又，
即，
．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、勾股定理、切线的判定及求三角形面积的方法，熟练掌握相关知识及正确作出辅助线是解决问题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【来源】2023年广东省佛山市南海区大沥镇初中毕业生适应性学业监测数学试题（一模）
【分析】（1）连接，根据切线性质得，是圆的直径，可得，根据直角三角形内角关系相互转换，等到，从而证明；
（2）设圆的半径为r，由（1）中等到的结论，在和中利用三角函数表示出直角三角形边的关系，分别求出和的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图连接，
是⊙O的切线，
，

是⊙O的直径，

平分，
，
，


，
，
，
．

（2）解：由（1）得，
设⊙O的半径为r，即，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）得，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆中与切线有关的几何计算，正确利用三角函数表示直角三角形边的边角关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)

【来源】2022年广东省深圳市九年级数学中考三模模拟试题
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC，∠D=∠EBD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，推出∠CBE=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据圆周角定理得到BF⊥AC，根据三角函数的定义得到BF=4，设CF=x，列出关于x的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AC=BC，EB=ED
∴∠A=∠ABC，∠D=∠EBD
∵CD⊥AC
∴∠A+∠D=90°
∴∠ABC+∠EBD=90°
∴∠CBE=90°
∵BC是⊙O的直径．
∴BE是⊙O的切线．
（2）解：连接BF

∵BC是⊙O的直径．
∴∠BFC=∠BFA=90°
在Rt△ABF中，tanA=
∴BF=4
设CF=x，则AC=BC=x+2
在Rt△BCF中，
即
∴x=3
∴CF=3，BC=5
∵∠ACB=∠AFB=90°
∴BF∥CD
∴∠1=∠2
又∵∠CFB=∠EBC=90°
∴△CFB∽△EBC
∴
∴
∴BE=
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）OF＝5．
【来源】广东省珠海实验中学2019届九年级上学期期末考试数学试题
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF．
【详解】（1）连接OC．如图1所示：

∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．如图2所示：

∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝，
∴AB＝BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝，
解得：OF＝5．
【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
23．(1)见解析
(2)

【来源】2023年广东省顺德区中考一模数学试题
【分析】（1）连接，根据正方形的性质及圆周角定理可得有三个内角是直角，即可得出结论；
（2）连接交于点，连接，过点作于点，证明四边形、四边形和四边形均为矩形，推出，，，，设，，则，推出，，由勾股定理，构建关系式，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

经过正方形的顶点，，
，
是的直径，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接交于点，连接，过点作于点，

经过圆心，
，
是的切线，
，
由（1）知四边形是矩形，
，
，
，
，
是半径，
，
同理可得四边形和四边形均为矩形，
，，，
，
设，，则，
，
，，
，
整理得，
，
或（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利用参数构建方程是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析

【来源】2023年广东省佛山市南海区中考一模数学试题
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，可得，推出，得到，即可得证；
（2）证明，得到，利用等角对等边，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：连接，

∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，证明三角形相似，是解题的关键．
25．(1)见解析；
(2)

【来源】2022年广东省深圳市坪山区九年级4月模拟（二模）数学试题
【分析】（1）连接OC、OF，证明四边形OFBC是平行四边形，则BF∥OC，根据AC=BC，得到OC⊥AB，∠ABF=∠BOC=90°，可证明BF是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB=∠ACB=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，可证明FB=OB=OA=AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC、OF，

∵EF=CE，OE=BE，
∴四边形OFBC是平行四边形，
∴BF∥OC，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ABF=∠BOC=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）如图，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠OCB=45°，
∵OF∥BC，
∴∠BOF=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠BOF，
∴FB=OB=OA=AB，
∵FB2+AB2=AF2，且AF=5，
∴（AB）2+AB2=（5）2，
∴AB=2，
∴FB=AB=，
∴⊙O的半径为，
∵S△ABF=AB•BF=AF•BD，
∴2×=5×BD，
∴BD=2．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．(1)见详解
(2)阴影部分的面积为

【来源】2023年广东省佛山市中考一模数学试卷
【分析】（1）连接，由，可得，进一步得到，又为切线，可知，可得，可得为切线；
（2）根据勾股定理求出，分别求出、和扇形的面积，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
∵，，
，
，
为的切线，
，
，
为的切线；
（2）解：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴由勾股定理得：，，
∴，，
∴，
∴，
阴影部分的面积．
【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)

【来源】河北省衡水桃城中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题
【分析】（1）连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
（2）首先证得，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，

∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，是角平分线，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：在中，，E为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
28．(1)见解析
(2)
(3)见解析

【来源】2023年广东省东莞市中考数学一模试卷
【分析】（1）连接，证明即可由切线的判定定理得出结论；
（2）连接，因为G是半圆弧中点，所以，在中，根据勾股定理求解即可；
（3）证明，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：连接，

，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
∴是的切线；
（2）解：连接，

∵G是半圆弧中点，
，
在中，，．
∴．
（3）证明：∵是的直径，
，
，
由（1）得，是的切线，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关性质与判定定理．
29．(1)见解析
(2)
(3)

【来源】湖北省黄石市2022-2023学年九年级下学期三月调考数学试卷
【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的三线合一得到；利用角平分线的定义和圆周角定理可得，从而；利用直径所对的圆周角为直角可得，利用等量代换可得，即，结论可得；
（2）由已知可得：，则，利用，得出比例式可求线段，利用勾股定理可求，，再利用求得线段，在中，利用正弦的意义可求结论；
（3）连接，则垂直平分，利用已知和勾股定理可求，利用三角形的中位线定理可得，进而可得；利用锐角三角函数，结论可得．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

是的直径，
，
，
是的垂直平分线．
，
，
，
平分，
，
，
，
，  
，
即，
，
直线是的切线．
（2）点是的中点，点是的中点，
，
设，则，
，，
，
，
，  
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，．
（3）连接，交于点，如图所示：

，
，
垂直平分，
，，
，
，
是的直径，  
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键．
30．(1)证明过程见详解
(2)①；②


【来源】2022年四川省德阳市中考数学真题
【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；
（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．
【详解】（1）连接OC、BC，如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分，
∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中，，
同理利用勾股定理，可求得，，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中，，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中，，
∴，
解得：，
∴，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，

∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴，即，
∴，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴，即，
∵HB=1，，，，
∴，
解得：，
∴，
故△AEF的面积为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．