2021北京西城初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京西城初一（下）期末数学（教师版），共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京西城初一（下）期末
数 学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415 D.
3. 若，则下列各式中正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 下列事件中，调查方式选择合理的是（ ）
A. 为了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
B. 为了解某市中学生每天阅读时间的情况，选择全面调查
C. 为了解某班学生的视力情况，选择全面调查
D. 为选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，选择抽样调查
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D 如果，，那么
8. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为（ ）

A. B. C. D.
9. 2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．如图是小明同学根据年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．

根据统计图提供的信息，下面四个判断中不合理的是（ ）
A. 2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16904元
B. 年北京市居民人均可支配收入逐年增长
C. 2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为
D. 年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2018年
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）

A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 27的立方根为_____．
12. 已知是方程y=kx＋4的解，则k的值是____．
13. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是3，则的值是 __．
14. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________________．
15. 如图，数轴上点，对应的数分别为，1，点在线段上运动．请你写出点可能对应的一个无理数是 __．

16. 已知，则值是 __．
17. 如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符合条件的序号）

18. 在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(1，2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积分别为S1和S2，如果S1⩾S2，那么点P的纵坐标yp的取值范围是 ________．
三、解答题（本题共32分，第19题8分；其余各题，每小题8分）
19. （1）计算：；
（2）求等式中的值：．
20. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

21. 如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，．

求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
　　（理由：　　）．
平分，
　　　　．
．
，
，
　　　　（理由：　　）．
（理由：　　）．
22. 2021年3月教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作通知》，明确初中生每天睡眠时间要达到9小时．为了解某校七年级学生的睡眠情况，小明等5名同学组成学习小组随机抽查了该校七年级40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间（单位：小时）如下：
8；6.8；6.5；7.2；7.1；7.5；7.7；9 ；8.3；8
8.3；9 ；8.5； 8； 8.4 ；8 ；7.3 ；7.5； 7.3 ；9
8.3 ；6 ；7.5； 7.5 ；9 ；6.5； 6.6； 8.4 ；8.2 ；8.1
7 ；7.8； 8 ；9 ；7 ；9； 8 ；6.6； 7； 8.5
该小组将上面收集到的数据进行了整理，绘制成频数分布表和频数分布直方图．
平均每天睡眠时间频数分布表
分组
频数

1



7

6

13

2



根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中　　，　　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级共有360名学生，请你估算其中睡眠时间不少于9小时的学生约有多少人．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段（其中点与点，点与点是对应点），连接，．

（1）补全图形，直接写出点和点的坐标；
（2）求四边形的面积．
四、解答题（本题共22分，第24题7分，第25题7分，第26题8分）
24. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
（1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
（2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318，求他平均每天的送件数．
25. 如图，点，在直线上，，EF//AB．

（1）求证：CE//DF；
（2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，先补全图形，再求的度数．
26. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含．
（1）将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由；
（2）将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围．
五、填空题（本题6分）
27. 对，，定义一种新运算，规定：，，，其中，为非负数．
（1）当时，若，，，，1，，则的值是 __，的值是 __；
（2）若，2，，，2，，设，则的取值范围是 __．
六、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28. 如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．

（1）当射线经过点时，直接写出此时的值；
（2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
（3）当EM//FN时，求的值．
29. 在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
（1），，
①的值是　　；
②点在轴上，若，则点的坐标是　　．
（2）点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．

参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【详解】∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.
【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．
2. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义：限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数、算数平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算数平方根的性质，从而完成求解．
3. 若，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，根据不等式的性质，不等式两边同时加减相同数字，不等号不改变方向；不等式两边同时乘除大于零的数，不等号不改变方向；反之则改变，即可；
【详解】对于选项A．，依据不等式性质： ，选项A不符合题意；
对于选项B．，依据不等式性质：，选项B不符合题意；
对于选项C．，依据不等式性质：，选项C符合题意；
对于选项D．，依据不等式性质：，选项D不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式性质，难点在熟练应用不等式两边的同时乘小于零的数，不等号方向发生改变；
4. 下列事件中，调查方式选择合理的是（ ）
A. 为了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
B. 为了解某市中学生每天阅读时间的情况，选择全面调查
C. 为了解某班学生的视力情况，选择全面调查
D. 为选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，选择抽样调查
【答案】C
【解析】
【分析】全面调查是指对总体中每个个体都进行的调查，一般适用于总体中个体数量不太多的情况；抽样调查是指不必要或不可能对总体进行全面调查时，就从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据调查数据来推断总体的情况；根据全面调查与抽样调查的含义即可确定正确答案．
【详解】了解汽车的抗撞击能力具有破坏性，用抽样调查，
∴A选项不合题意，
某市中学生人数较多，适合抽样调查，
∴B选项不合题意，
一个班的学生人数较少，适合选择全面调查，
∴C选项符合题意，
选出短跑最快的学生，每个学生都有可能，应选择全面调查，
∴D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，掌握两者的含义是本题的关键．
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根定义、立方根定义化简后判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了算术平方根定义、立方根定义，熟记定义并进行计算是解题的关键．
6. 如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据推出，求出的度数即可求出答案．
【详解】，
∴，
，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理：内错角相等两直线平行是解题的关键．
7. 下列命题中，假命题（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【详解】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
8. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案．
【详解】由题意可建立如图所示平面直角坐标系，

则复兴门站的坐标为．
故选：．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属于基础题型．
9. 2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．如图是小明同学根据年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．

根据统计图提供的信息，下面四个判断中不合理的是（ ）
A. 2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16904元
B. 年北京市居民人均可支配收入逐年增长
C. 2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为
D. 年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2018年
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格数据分别求得2020年比2016年的增长量，即可判断A，根据条形统计图直接可判断B选项，根据2016,2017年的人均可支配收入即可求得2017年北京市居民人均可支配收入的增长率，从而判断C，根据每年的增长量即可判断D选项．
【详解】A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了元，正确，故本选项不合题意；
B、年北京市居民人均可支配收入逐年增长，正确，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率，正确，故本选项不合题意；
D、69434-67756=1678，67756-62361=5395,62361-57230=5131，57230-52530=4700，则年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，故本选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，从条形统计图获取信息是解题的关键．
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）

A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步．
∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步．

故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】
【详解】找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
12. 已知是方程y=kx＋4的解，则k的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把代入方程得：-2=4k+4，
解得：k=，
故答案为：.
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
13. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是3，则的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得的值．
【详解】因为点到轴距离是3，
所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
14. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题．
【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
15. 如图，数轴上点，对应的数分别为，1，点在线段上运动．请你写出点可能对应的一个无理数是 __．

【答案】答案不唯一，如
【解析】
【分析】由点对应的无理数在之间，从而可得答案.
【详解】解：点在上，
点对应的无理数在之间，
可以是，
故答案为：如，等．答案不唯一，
【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.
16. 已知，则的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到x和y的值，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】，
，，即，
将代入到，得：
去括号，得：
移项并合并同类项，得：
将代入到，得
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘方、绝对值、二元一次方程组、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
17. 如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符合条件的序号）

【答案】②④##④②
【解析】
【分析】利用平行线的判定定理依次判断．
【详解】①，；
②，；
③，；
④，．
故答案为：②④．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(1，2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积分别为S1和S2，如果S1⩾S2，那么点P的纵坐标yp的取值范围是 ________．
【答案】或
【解析】
【分析】借助坐标系内三角形底和高的确定，利用三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，

S1＝×|yP−yA|×1，
S2＝×2×1＝1，
∵S1≥S2，
∴|yP-1|≥3，
解得：yP≤-2或yP≥4．
【点睛】本题主要考查坐标系内三角形面积的计算，关系是确定三角形的底和高．
三、解答题（本题共32分，第19题8分；其余各题，每小题8分）
19. （1）计算：；
（2）求等式中的值：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）先去括号及化简绝对值，合并同类二次根式即可；
（2）利用直接开平方法求解．
【详解】（1）原式
；
（2），
，
，
即，．
【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握二次根式的加减混合运算法则及运算顺序、平方根的运用是解题关键．
20. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】不等式组的解集为：，数轴表示见解析
【解析】
【分析】首先分别求解不等式，再根据不等式组的性质得到解集，结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】∵，
移项并合并同类项，得：，
∵
去分母，得：
移项并合并同类项，得：，
∴不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
21. 如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，．

求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
　　（理由：　　）．
平分，
　　　　．
．
，
，
　　　　（理由：　　）．
（理由：　　）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可．
【详解】
（理由：两直线平行，内错角相等），
平分，
，
．
，
，
（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22. 2021年3月教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确初中生每天睡眠时间要达到9小时．为了解某校七年级学生的睡眠情况，小明等5名同学组成学习小组随机抽查了该校七年级40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间（单位：小时）如下：
8；6.8；6.5；7.2；7.1；7.5；7.7；9 ；8.3；8
8.3；9 ；8.5； 8； 8.4 ；8 ；7.3 ；7.5； 7.3 ；9
8.3 ；6 ；7.5； 7.5 ；9 ；6.5； 6.6； 8.4 ；8.2 ；8.1
7 ；7.8； 8 ；9 ；7 ；9； 8 ；6.6； 7； 8.5
该小组将上面收集到的数据进行了整理，绘制成频数分布表和频数分布直方图．
平均每天睡眠时间频数分布表
分组
频数

1



7

6

13

2



根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中　　，　　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级共有360名学生，请你估算其中睡眠时间不少于9小时的学生约有多少人．
【答案】（1）5，6 （2）补全频数分布直方图见解析
（3）估计睡眠时间不少于9小时的学生约有54人
【解析】
【分析】（1）统计出平均每天睡眠时间在间的人数即可求得m的值；同理统计出平均每天睡眠时间在间的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）中求得的m与n的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用七年级的全部学生数乘所抽取的学生睡眠时间不少于9小时所占的百分比，即得七年级学生睡眠时间不少于9小时的学生．
【小问1详解】
由题意知的频数，的频数，
故答案为：5、6；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
估计睡眠时间不少于9小时的学生约有（人．
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本的率估计总体的率，用样本估计总体是本题的难点．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段（其中点与点，点与点是对应点），连接，．

（1）补全图形，直接写出点和点的坐标；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）补全图形见解析，点坐标为，点坐标
（2）四边形的面积为32
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得到点C、D，连线即可得到图形，根据点位置得到坐标；
（2）根据面积公式直接计算可得．
【小问1详解】
解：如图所示，点坐标为，点坐标，
【小问2详解】
解：四边形的面积．
【点睛】此题考查了平移的规律，利用平移作图，计算网格中图形的面积，正确掌握平移的性质是解题的关键．
四、解答题（本题共22分，第24题7分，第25题7分，第26题8分）
24. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
（1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
（2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318，求他平均每天的送件数．
【答案】（1）快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元
（2）他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件
【解析】
【分析】（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，列二元一次方程求解；
（2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，列不等式组求解．
【小问1详解】
解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，根据题意得：
，
解得，
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；
【小问2详解】
解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，根据题意得：
，
解得，
是正整数，
的值为160，161，162，163，164，
答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
25. 如图，点，在直线上，，EF//AB．

（1）求证：CE//DF；
（2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，先补全图形，再求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据同位角相等，两直线平行的性质分析，即可完成证明；
（2）根据平行线的性质，得，从而得，根据角平分线的性质，计算得，再结合平行线的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1），，
，
；
（2）补全图形，如图所示，

，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
26. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含．
（1）将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由；
（2）将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围．
【答案】（1）能被包含．理由见解析
（2）实数的取值范围是或
【解析】
【分析】（1）解方程组求得方程组的解为，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，即可证得C能被D包含；
（2）解关于x，y的方程组得到它的解为，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等式组得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3．
【小问1详解】
能被包含．理由如下：
解方程组得到它的解为，
，，
不等式的解集为，
，
和都在内，
能被包含；
【小问2详解】
解关于，的方程组得到它的解为，
，，
解不等式组得它的解集为，
，
不能被包含，且，
或，
或，
所以实数的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，属于中档题．
五、填空题（本题6分）
27. 对，，定义一种新运算，规定：，，，其中，为非负数．
（1）当时，若，，，，1，，则的值是 __，的值是 __；
（2）若，2，，，2，，设，则的取值范围是 __．
【答案】 ①. 2 ②. 1 ③.
【解析】
【分析】（1）根据定义列出二元一次方程组，解方程即可求得；
（2）根据定义列出二元一次方程组，用含的代数式表示，，根据，为非负数，列出一元一次不等式，解不等式组求得c的取值范围，进而求得H的取值范围．
【详解】（1），，，
当时，若，，，，1，可得：
，
解方程组得：
．
故答案为2，1．
（2）当，2，，，2，时，
，，得：
，
用含的代数式表示，得：
．
，为非负数，
，
解不等式组得：
．

，
随的增大而增大，
当时，，
当时，．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，根据新定义列出方程组和不等式组是解题的关键．
六、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28. 如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．

（1）当射线经过点时，直接写出此时的值；
（2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
（3）当EM//FN时，求的值．
【答案】（1）的值为30
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）∠CFE的度数除以射线FN旋转的速度即可求得t的值；
（2）过点作直线，则由已知可得，由平行线的性质可得∠KPF，再由垂直关系即可求得∠KPE；
（3）当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，由平行线的性质建立方程，即可求得t的值．
【小问1详解】
的速度为每秒，，
当射线经过点时，所用的时间为：；
【小问2详解】
过点作直线，如图所示：

，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
与的速度不相等，
当时，与不平行；
当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：

，
，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题是与平行线有关的综合问题，它考查了平行线的性质、垂直的性质、角的和差运算，运用了方程思想．
29. 在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
（1），，
①值是　　；
②点在轴上，若，则点的坐标是　　．
（2）点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）①5；②或；
（2）①当点的坐标为时，的值为4；②的最小值是3，此时点的坐标是或
【解析】
【分析】（1）①根据的含义即可求得；
②设，则可得与，由即得关于x的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点P的坐标，设点为线段上任意一点，则，从而可得与，进而求得，由t的取值范围即可求得的最大值，最后可求得的值；
②由已知易得，，或，设点，则，求出及，当=时，有最小值，从而可得关于t的方程，解方程即可求得t的值，从而可求得此时的最小值及点P的坐标．
【小问1详解】
①，，
，，
则，
故答案是5．
②，点在轴上，设，
，，
，
，
或，解得，或，
的坐标是或．
故答案是或．
【小问2详解】
①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为，
点的坐标为，
设点为线段上任意一点，则；
点的坐标为，
，，
；
由，可得；
，
的最大值是4，
．

②，，或，
设点，则，
，，
当，，时，有最小值，
即时，有最小值，
或，则有最小值为3，
点的坐标为或，
的最小值是3，此时点的坐标是或．
【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中及的意义．