河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学（解析版）

这是一份河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合．若，则（     ）A．B．C．D．1．答案：C解析：由题意可知，将代入，得，所以，即，解得或，所以2．已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是（  ）A．B．0C．D．22．答案：D解析：设，则，所以，故3．执行如图所示的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（  ）A．5B．4C．3D．23．答案：D解析：是是否输出，结束，所以正整数的最小值为2． 4．已知点，点为平面区域上的一个动点，则的最小值是（   ）A． 5B．3C．D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则的最小值为点到直线的距离，5．已知的三个内角依次成等差数列，边上的中线，则（   ）A．3B．C．D．65．答案：C解析：因为成等差数列，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，故，6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（    ）A．3B．C．D．6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则所以最长的棱为37．已知数列满足，则（    ）A．0B．C．D．7．答案：B解析：解法1：，周期，所以解法2：设，则，，所以，所以数列是一个首项为0，公差为的等差数列，，所以8．已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（  ）A．B．C．D．8．答案：B解析：当时，，根据题意可得，所以，解得：，所以，所以，又因为，所以，所以9．设函数，其中．若，且的最小正周期大于，则（    ）A．B．C．D．9．答案：D解析：根据题意，所以，又因为，所以，当时，，又因为，所以10．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．10．答案：C解析：函数为偶函数，且在上单调递增，，所以，所以，所以，所以11．已知函数的图像的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．11．答案：B解析：，的对称轴为，所以，所以，令，得，所以当时，取得极大值1，当时，取得极小值，要想使有三个零点，则必须，解得12．定义在内的函数满足：①当时，；②（为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数的值是（    ）A．1B．C．或3D．1或212．答案：D解析：在区间上，当时，取得极大值1，极大值点为，当时，，，所以在区间上，当，即时，取得极大值，极大值点为，当时，，所以，所以在区间上，当，即时，取得极大值，所以极大值点为，根据题意，，，三点共线，所以，解得或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形中，分别是的中点，若，则                ．13．答案：解析：不妨设正方形边长为2，以为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则，，因为，所以，所以，解得                  14．已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为                ．14．答案：解析：设，则，即，设，则，且，所以函数是一个单调递减函数，不等式等价于，所以，即，解得15．已知数列的前项和为，，且成等比数列，成等差数列，则等于                ．15．答案：解析：由题意可得，因为，所以，所以，故数列为等差数列，又由， ，可得；，可得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，故，故，所以16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是                ．16．答案：或解析：由可得，所以或，画出的图像，当时，因为，所以该方程有4个根；因为关于的方程有且仅有6个不同的实数根，所以有两个根，由图可知，实数的取值范围是：或三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考试必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．17．解：（1）由及正弦定理可得：，故，，，，又因为，所以（2）由，可得，所以，从而，因此，故的取值范围是18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．参考数据：若，则18．解：因为语文成绩服从正态分布，所以语文成绩特别优秀的概率为，数学成绩特别优秀的概率为所以语文成绩特别优秀的同学有（人），数学特别优秀的同学有（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，的所有可能取值为所以的分布列为X0123P…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形中，分别为的中点，现把平行四边形沿折起，如图②所示，连接（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，且，取的中点，连接，则是等边三角形，所以，同理可得．又因为，所以平面，又因为平面，所以．…………………………（5分）（2）由已知得，所以，故，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得．设平面的法向量，，，令，得，所以的法向量．设平面的法向量，，由，令，得，所以平面的法向量，于是．因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为20．（本小题满分12分）已知曲线在点处的切线方程是．（1）求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值．20．解：（1），由，可得……（4分）（2）由对任意恒成立，即恒成立，令，则，显然单调递增，且有唯一零点，所以在内单调递减，在内单调递增，所以，所以，故的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数（为常数，）．（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；（2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．21．解：（1）当时，，所以，又，即切点为，所以切线方程为，即．……（3分）（2），依题意，，即，因为，所以，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以．…………（6分）（3），因为，所以，即，所以在上单调递增，所以．问题等价于对任意的，不等式恒成立，设，则，又，所以在右侧需先单调递增，所以，即．当时，设，其对称轴为，又，开口向上，且，所以在内，，即，所以在内单调递增，，即．于是，对任意的，总存在，使不等式成立．综上可知，…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．22．解：（1）将化为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为．由消去解得，所以直线的普通方程为……………………（5分）（2）把代入，整理得，设其两根为，则，所以………………（10分）方法2，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以………………（10分）方法3，将代入，化简得：，由韦达定理得：，23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．23．解：（1）由，得，所以，即，解得：，所以原不等式的解集为（2）因为对任意，都有，使得成立，所以，又，当且仅当时取等号，，所以，解得：或，所以实数的取值范围是