2023年江苏省苏州市中考数学考前模拟试卷（四）（含答案）

这是一份2023年江苏省苏州市中考数学考前模拟试卷（四）（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年苏州中考数学考前模拟（四）
一、选择题（每题3分，本题满分24分，共8小题）
1．在数，﹣π，0.314，，，5中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．（x2）3＝x5 B．x3•x3＝x6
C．3x2+2x3＝5x5 D．（x+y）2＝x2+y2
3．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
4．已知一组数据：1，2，a，b，5，8的平均数和中位数都是4（a，b均为正整数），在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（　　）
A．中位数不变 B．众数不变 C．平均数不变 D．方差不变
5．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，若∠AEB1＝70°，则∠BEF＝（　　）A．70° B．60° C．65° D．55°
第5题第6题第8题
6．如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（　　）
A．50tana米 B．米 C．50sina米 D．米
第7题
7．图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　）
A．甲车在立交桥上共行驶8s ； B．从F口出比从G口出多行驶40m；
C．甲车从G口出，乙车从F口出； D．立交桥总长为160m。
8．如图，在矩形ABCD中，，E是边CD上的一动点，以AE为直径的⊙O经过BC边上的一点F．若使∠DAE最小，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（每题3分，本题满分24分，共8小题）
9．2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布，全国人口共141178万人，则141178万人用科学记数法表示为 　 　人．
10．因式分解：3x2﹣12＝　 　．
11．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为　 　．
12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是　 　．
13．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　．
14．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，AC＝2，则DF的长为 　 　．
第11题第14题
15．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，BD＝1，∠A＝45°，∠C＝30°，则AC＝　 　．
16．如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y＝经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为，则k的值为 　 　．
第15题第16题
三、解答题（本题满分0分，共11小题）
17．计算：0．

18．解不等式组．
19．先化简，再求值：，其中x＝4．


20．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．

21．为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小亮从A测温通道通过的概率是 　 　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．


22．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：
（1）样本容量是 　 　，组距是 　 　；
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？

23．两架无人机A、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处以m米/秒匀速上升．如果这两架无人机同时出发，经过10秒后都位于同一海拔高度n米．设无人机海拔高度y米与时间x秒的关系如图所示．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；
（3）当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机B高多少米？

24．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．（t≥0）
（1）当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
（2）求出S△BPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S△BPQ有最大值，并求出这个最大面积？

25．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．

26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．

27．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

∴∠BEF＝（180°﹣∠AEB1）＝＝55°．故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键．
第5题第6题
6．（2023•和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（　　）
A．50tana米 B．米 C．50sina米 D．米
【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题．
【解答】解：在直角△ABC中，sinα＝，cosα＝，∴＝tanα，
∴BC＝AC•tanα＝50tanα．故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、AC的关系是解题的关键．
7．（2020秋•承德期末）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　）
A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m
C．甲车从G口出，乙车从F口出 D．立交桥总长为160m
【分析】根据题意、结合图象问题可得．
【解答】解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为2s，通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为3s．
因此，甲车所用时间为3+2+3＝8s，故A正确，不符合题意；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故B正确，不符合题意；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C正确，不符合题意；
根据题意立交桥总长为（3×2+3×3）×10＝150m，故D错误，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
第7题第8题
8．（2022•蔡甸区模拟）如图，在矩形ABCD中，，E是边CD上的一动点，以AE为直径的⊙O经过BC边上的一点F．若使∠DAE最小，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切与点F，设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，设AB＝3k，则BC＝4k，设BG＝EC＝x，则DE＝3k﹣x，OF＝（3k+x），AE＝2OF＝3k+x；利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得x值，则结论可得．
【解答】解：由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切与点F，如图，
设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC，AB＝CD．
∵AE为直径，∴∠AGE＝90°，
∴∠BGE＝90°，∴四边形BCEG为矩形，
∴BG＝EC．∵BC为⊙O的切线，
∴OF⊥BC，∴OF∥AB∥CD，
∴OF为梯形ABCE的中位线，
∴OF＝（AB+CE）．∵，
∴设AB＝3k，则BC＝4k，设BG＝EC＝x，
则DE＝3k﹣x，OF＝（3k+x），∴AE＝2OF＝3k+x．
在Rt△ADE中，∵AD2+DE2＝AE2，
∴（4k）2+（3k﹣x）2＝（3k+x）2，解得：x＝k．∴EC＝k，∴DE＝CD﹣CE＝k，
∴．故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，本题满分24分，共8小题）
9．（2022秋•密山市校级期末）2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布，全国人口共141178万人，则141178万人用科学记数法表示为 　1.41178×109　人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：141178万＝1411780000＝1.41178×109，
故答案为：1.41178×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
10．（2023•东莞市一模）因式分解：3x2﹣12＝　3（x+2）（x﹣2）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2023•姑苏区校级一模）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为　　．
【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，
所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件对应的面积与总面积之比．
则AC＝　　．


【分析】易得AD＝BD＝1，BC＝2BD＝2，勾股定理求出CD，利用AD+CD求出AC即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵BD＝1，∠A＝45°，∠C＝30°，∴AD＝BD＝1，BC＝2BD＝2，
∴，∴．故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
第15题第16题
16．（2023•立山区校级一模）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y＝经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为，则k的值为 　8　．
【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF∥CE，推比例线段，设点B（，n），推出C（，n），再根据S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，求出k的值．
【解答】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，∴AF∥CE，∴＝，
∵OC＝2AC，∴＝，设点B（，n），∵AB∥x轴，∴A点的纵坐标为n，∴CE＝n，
∵点C反比例函数y＝，∴C（，n），
∵S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，
∴（n+n）（﹣）＝，解得k＝8，故答案为：8．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图行推比例线段及C点的表示方法是解题关键．
三、解答题（本题满分0分，共11小题）
17．（2019•广西模拟）计算：0．
【分析】分别根据绝对值的意义、幂的运算性质以及特殊角的三角函数值化简即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣（﹣1）+2﹣4×+1
＝＝＝2．
【点评】本题主要考查了实数的加减运算，熟练掌握幂的运算法则以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18．（2023•莲湖区模拟）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x≥0，
故原不等式组的解集为0≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•＝•
＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2019秋•葫芦岛期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．
【分析】证明BD＝FD，CE＝FE，即可解决问题．
【解答】证明：∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF；
∵FD∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝FD，EC＝EF；
∴DE＝BD﹣CE
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．
21．（2022秋•商河县期末）为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小亮从A测温通道通过的概率是 　　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）小亮从A测温通道通过的概率是，故答案为：；
（2）列表如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2023春•海门市校级期中）某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：
（1）样本容量是 　100　，组距是 　5　；
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？

【分析】（1）根据用水量在10吨～15吨的用户数和所占的百分比，可以计算出样本容量，再根据直方图中的数据，可以计算出组距；
（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，可以计算出用水量15吨～20吨的用户数，然后即可将直方图补充完整，然后再计算出扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数即可；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
【解答】解：（1）样本容量是：10÷10%＝100，组距是15﹣10＝5，故答案为：100，5；
（2）用水量15吨～20吨的用户为：100﹣10﹣36﹣25﹣9＝20（户），
补全的频数分布直方图如右图所示，
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为：360°×＝90°；
（3）20×＝11.2（万户），
答：该地20万用户中约有11.2万户用户的用水全部享受基本价格．

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（2022秋•朝阳区校级期末）两架无人机A、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处以m米/秒匀速上升．如果这两架无人机同时出发，经过10秒后都位于同一海拔高度n米．设无人机海拔高度y米与时间x秒的关系如图所示．
（1）m＝　3　，n＝　60　；
（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；
（3）当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机B高多少米？

【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出m、n的值；
（2）根据题意和（1）中m的值，可以写出无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；
（3）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，10+5×10＝30+10m，解得m＝3，
n＝10+5×10＝60，故答案为：3，60；
（2）由（1）知：无人机B的速度为3米/秒，
∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式是y＝30+3x；
（3）当x＝20时，（10+5×20）﹣（30+3×20）
＝（10+100）﹣（30+60）＝110﹣90＝20（米），答：无人机A比无人机B高20米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2022秋•河西区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．（t≥0）
（1）当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
（2）求出S△BPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S△BPQ有最大值，并求出这个最大面积？
【分析】（1）利用t的代数式分别表示出线段AP，PB，BQ，利用勾股定理在Rt△PBQ中列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到S△BPQ关于t的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵AB＝5cm，∴PB＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm．
在Rt△PBQ中，∵PB2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，解得：t＝2或t＝0，
答：当t为0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm．
（2）由（1）知：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
∴，∴0≤t≤．
∴S△BPQ＝PB•BQ＝（5﹣t）•2t＝﹣t2+5t，
∴S△BPQ关于t的函数解析式为S△BPQ＝﹣t2+5t；
∵S△BPQ＝﹣t2+5t＝﹣+，∵﹣1＜0，
∴当t＝秒时，S△BPQ有最大值，最大值为．
∴P、Q出发秒时，S△BPQ有最大值，这个最大面积为cm2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的极值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t的代数式分别表示出线段AP，PB，BQ的长度是解题的关键．
25．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
题图答图
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；（2）利用（1）的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，OA＝OE＝，OC＝OE﹣CE＝，OP＝OE+PE＝，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE；
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE﹣CE＝，OP＝OE+PE＝．
∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，PO平分∠APB，∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴△OAC∽△OPA，∴，∴，
即：x2+10x﹣24＝0．解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），∴CE＝2．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．
26．（2023•济阳区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解
（2）用解直角三角形的方法即可求解；
（3）当A、C、H共线时，AC+BC最小，进而求解．

【解答】解：（1）将点O的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（0﹣3）2+4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，则点B（3，4），由抛物线的对称性知，点A（6，0）；
（2）过点P作PH⊥OB于点H，

在Rt△OBD中，由点B的坐标得，OB＝5，则tan∠OBD＝＝tanα，则sinα＝，
设PH＝3x，则BH＝4x，PB＝5x，∵∠BOP＝45°，则PH＝OH＝3x，
则OB＝5＝BH+OH＝3x+4x，则x＝，则PD＝BD﹣BP＝4﹣5x＝，
即点P的坐标为：（3，）；
（3）由（2）知，sin∠OBD＝sinα＝，如图2，过点C作CN⊥OB于点N，则CN＝BCsinα＝BC，
则AC+BC＝AC+CN，即当A、C、N共线时，AC+BC最小，则3BC+5AC＝5（AC+BC）最小，
∵S△OAB＝OA•BD＝OB×AN，即6×4＝5×AN，解得：AN＝，
故3BC+5AC最小值＝5（AC+BC）＝5AN＝24．
【点评】本题考查二次函数综合运用，涉及到解直角三角形，二次函数图象和性质，解一元二次方程，属于中考压轴题，其中（3），运用属于胡不归问题，综合性强，难度适中．
27．（2023•泰山区校级一模）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．

【点评】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．