2023年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年我国新能源汽车销售量约为辆，同比增长数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  由四个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  方程经过配方后，其结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树，工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树中采摘了棵，统计了每棵的产量下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的葡萄产量较稳定的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  一沙滩球网支架示意图如图所示，米，，则最高点离地面的高度为(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米8.  如图，小明分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，作直线分别交弦和劣弧于点，小明量得，则劣弧所在圆的半径长为(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，已知正五边形的边长为，连接对角线构成另一个正五边形，则正五边形的边长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  我们知道订书针的两条短边垂直长边如图是由三枚完全相同的订书针，，拼成的图形，点，，，在同一条直线上，点，，分别在，，上，，当点，重合时，的长度为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  分解因式：          ．12.  不等式组的解集是______ ．13.  如图所示，电路图上有、、三个开关和一个小灯泡，闭合开关或者同事闭合开关、，都可使小灯泡发光，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于______．14.  水浒传中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来某日，戴宗去里之外的地方打探情报，去时顺风，用了小时；回来时逆风，用了小时，则戴宗的速度为______ 里小时．15.  如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时， ______ ．
16.  如图为一款折叠婴儿车的演示过程点处有一卡扣，打开卡扣，从手柄点处往下按压，完成折叠已知支撑杆，，卡扣恰好为中点，推杆．

如图，当卡扣固定时，支撑杆与水平线呈角，手柄到水平线的距离约为______ ；
当折叠完成时，如图所示，支撑杆与水平线呈角，此时手柄约下降了______ ．
结果均精确到参考数据：，，，，，，，三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
以下是小亮同学在解分式方程的过程： 解：去分母得化简得
解得，
经检验，，是原方程的解
所以原方程的解为，根据小亮的解题过程，回答下列问题：
小亮的解题过程中第______ 步开始出现了错误．
请你写出正确的解答过程．19.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，．
求证：≌；
连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
20.  本小题分
某校为提高九年级学生的体育成绩，针对跳绳项目进行了专门训练为了解训练效果，在训练前后各组织了一次测试，并从中抽取了名学生的数据制成了如下条形统计图，请回答下列问题：
某校九年级名学生训练前后跳绳成绩条形统计图
训练前成绩的中位数是______ 分，训练后成绩的众数是______ 分；
训练后比训练前平均分增加了多少分？
如果该校九年级有名学生，那么估计训练后成绩为满分的人数有多少人？
21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，曲线是反比例函数图象的一部分把曲线关于轴对称，再向下平移个单位得到曲线，且点恰好在直线上已知点的坐标为，，两点间的水平距离为．
求曲线所在的反比例函数的解析式；
求的值．
22.  本小题分
如图，内接于，为的直径，点在上，连接交于点，延长至点，连接已知，，．
求证：为的切线；
求的边上的高；
求的长．
23.  本小题分
根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况素材在大自然里，有很多数学的奥秘一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．问题解决任务
 确定心形叶片的形状如图建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标．任务
 研究心形叶片的尺寸如图，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，直线分别交抛物线和直线于点，，点，是叶片上的一对对称点，交直线与点求叶片此处的宽度．任务
 探究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务中的二次函数已知直线与水平线的夹角为三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上如图所示求此时幼苗叶子的长度和最大宽度． 24.  本小题分
如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别在对角线，上，，连结．
求线段的长和的度数；
当点在点处时，以为边在右下方作等边，连结在点运动过程中，点也随之运动如图，过点作的平行线交于点若设线段长为，线段长为，求关于的函数关系式，并写出相应的取值范围；
若点在直线上运动，以为边作等边当点恰好落在矩形的边上时，求的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
故选：．
用移动小数点的方法确定值，根据整数位数减一原则确定值，最后写成的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定，运用整数位数减去确定值是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：俯视图是
，
故选：．
根据俯视图的意义画图即可．
本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
利用完全平方公式进行配方即可得．
本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：根据方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，
甲品种的葡萄产量较稳定，所以，
故选：．
根据方差的意义即可得出答案．
本题考查了方差的意义，根据方差判断稳定性，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性也越好是解答本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：米，，
在中，，，
故选：．
根据三角函数的定义即可得到结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：直线是的垂直平分线，
，
，，
设，
，，
在中，
，
，
圆的半径为，
故答案为：．
故选：．

根据作图即可得到直线是的垂直平分线，再利用垂径定理及勾股定理即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：正五边形的边长为，
，，
，，
，∽，，
，
，
解得舍去，
，
故选：．
根据正五边形的性质，得到，，得到，证明∽列式计算即可．
本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握正五边形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交于点，交于点，设，，

，
，，
四边形是矩形，，
，∽，
，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，

解得，
，
故选：．
过点作，交于点，交于点，证明≌，∽，设，，利用全等，相似的性质计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：．
【解答】
解：．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
又，
不等式组得解集为：，
故答案为：．
求出第一个不等式解集，根据“大小小大中间找“即可得不等式组的解集．
本题主要考查解不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合，
小灯泡发光的概率等于：．
根据题意可得任意闭合其中一个开关共有种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：戴宗顺风行走的速度为：里小时，
戴宗逆风行走的速度为：里小时，
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为里小时，
答：戴宗的速度为里小时．
故答案为：．
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
 15.【答案】或 【解析】解：为等腰直角三角形，，
，
当点在点上方时，如图，

过点作交的延长线于，
当时，可证，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
当点在点下方时，如图，

同的方法得，，，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论：当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；
当点在点下方时，同的方法得，，，进而得出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论．
 16.【答案】   【解析】解：如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，

，，卡扣恰好为中点，

是等边三角形，
，
恰好为中点，
，，
，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，
故答案为：．
如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，

，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
下降了，
故答案为：．
过点作于点，延长交于点，连接，得出是等边三角形，，在中，，，则，进而根据，即可求解；
连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，根据，得出，结合题意得出，，分别求得，，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 17.【答案】解：

． 【解析】利用特殊角的函数值，零指数幂，二次根式的化简，绝对值的化简计算．
本题考查了特殊角的函数值，零指数幂，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：由题意可知，小亮的解题过程中第步开始出现了错误，
故答案为：；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
检验：把代入，
所以原方程的解为．
根据分式方程的解法进行分析即可得到答案；
先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题关键．
 19.【答案】证明：，
，
即，
，，
≌；
解：如图，连接，，四边形是平行四边形，理由如下：

≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 【解析】由得到，又由，即可证明≌；
由≌得到，，则，即可判断四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：由条形统计图可知，，，
第个，第个数据是，则中位数为，
训练后成绩中出现次数最多，则众数是，
训练前成绩的中位数是分，训练后成绩的众数是分．
故答案为：，．
训练前平均分：分，
训练后平均分：分，
分，
答：训练后平均分增加了分
人．
答：估计训练后成绩为满分的人数有 人．
根据中位数与众数的定义即可求解；
分别求得训练前后的平均数即可求解；
根据样本估计总体，用乘以分的人数的占比即可求解．
本题考查了条形统计图，求中位数，众数，平均数，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．
 21.【答案】解：设：曲线所在的反比例函数的解析式，
将点的坐标为代入，得：，
解得：，
曲线所在的反比例函数的解析式为：；
，两点间的水平距离为，
点的横坐标为，
将点的横坐标代入，得：，
解得：，
点的坐标为，
设直线的关系式为：，
的图象经过点和点，
则，
解得，
直线的关系式为：，
把曲线关于轴对称，

对称后点的对应点为点，
点的坐标为，
把曲线关于轴对称，再向下平移个单位得到曲线，且点恰好在直线上．
点的横坐标为，
将点的横坐标代入，
得：，
点的坐标为，
点的坐标为，
． 【解析】将点的坐标为代入，即可求解；
先求出点的坐标为，再求出直线的关系式为：，求出点的坐标，即可求解．
本题考查求反比例函数的关系式及反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据题意，正确求出关系式．
 22.【答案】证明：连接

，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
为的切线；
解：作于点．

，
，
，，
∽，
，即，
，
，，
的边上的高是；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽
，，
，
，，
∽，
，
即，
，
． 【解析】连接，先证得，再证得，可得，即可证明为的切线；
作于点，先证明∽，可得，再求出，最后可得结果；
先求出，再证∽，可得，，然后再证明∽，可得出，，求出的长，最后可求得结果．
本题考查了圆的切线性质，圆的圆周角相等的性质，三角形相似的判定和性质等，解决本题的关键是熟练掌握圆的切线的判定证明方法．
 23.【答案】解：任务一：把代入得：
，
抛物线解析式为
顶点 的坐标为；
任务二：直线的解析式为，
，，
，
，
在中，当时，，
在中，当时，，
，，
，
，
，
、是叶片上的一对对称点，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
任务三：直线与 轴成角，
可设直线的解析式为，
把点代入得，．
直线的解析式为，
联立，解得或
，同理可求出直线的解析式为：，
，
把代入，
，
，
抛物线解析式为，
联立，解得，．
幼苗是越长越张开，
不合题意，舍去
，
作交延长线于点，
，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点，，
作交曲线于．
，
，
，


，
∽，

，，
叶片此时的长度为，最大宽度为． 【解析】任务一：，顶点 的坐标为；任务二：；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为
【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
任务二：先求出，得到，再求出，，得到，由对称性可得，，证明是等腰直角三角形，求出，则；
任务三：先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点，，作交曲线于则，即可得到，证明∽，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．  24.【答案】解：在中，，

四边形是矩形，

，
，

，
是等边三角形，

当点 在线段上时，点 与点 重合，如图，即

当点 在线段下方时，即时，如图

，
∽，
也是等边三角形
，
，
，，
≌，
，，
，
，

当点 在线段上方时，即时，如图

同理可得≌，
，，
，
，

当点 在的延长线和反向延长线上时，不存在符合条件的，所以点 在线段上
如图，点 在边上时

易证≌，
，

过点 作于点
在中，，

在中，，

如图，点 在边上时

由中≌得
，
，易得
过点 作的延长线于点
在中，，

在中，，

如图，点 在边上时，

，
过点 作于点
在中，，

在中，，

法二：，即，此时，
得，

过点 作于点，如图

在中，，

在中，，

如图，点 在边上时

过点 作分别交，于点， 并连结
易证≌，

在中，，，

在中，，，

在中，，

综上所述，，，， 【解析】由勾股定理求得长，结合已知和矩形的性质可求得，的长，进而可证得为等边三角形，即可得出的度数；
分类进行讨论，当点 在线段上时，点 与点 重合，求得，当点 在线段下方时，即时，利用三角形相似和全等得出，当点 在线段上方时，即时，同理可求出；
分别讨论点在不同的边上时的情况，点 在边上时，点 在边上时，点 在边上时，点 在边上时，利用三角形的全等和勾股定理即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点的应用，熟练掌握其性质，对各种情况合理分类讨论是解决此问题的关键．