广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若a为实数，且，则(   )A.2 B.1 C. D.2、已知集合，，则集合的元素个数为(   )A.1 B.2 C.3 D.43、已知两个非零向量，满足，，则(   )A. B. C. D.4、已知，，，则(   )A. B.C. D.5、木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为(   )A. B. C. D.6、已知椭圆C：()，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为(   )A. B. C. D.7、已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为(   )A.() B.()C.() D.()8、已知偶函数与其导函数的定义域均为R，且也是偶函数，若，则实数a的取值范围是(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是(   )A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为10、已知函数定义域是，值域为，则满足条件的整数对可以是(   )A. B. C. D.11、已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l与双曲线的右支交于点B、C，与双曲线的渐近线交于点A、D(A、B在第一象限，C、D在第四象限)，O为坐标原点，则下列结论正确的是(   )A.若轴，则的周长为B.若直线交双曲线的左支于点E，则C.面积的最小值为D.的取值范围为12、已知正四面体的棱长为2，点M，N分别为和的重心，P为线段上一点，则下列结论正确的是(   )A.若取得最小值，则B.若，则平面C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为D.直线到平面的距离为三、填空题13、某班有48名学生，一次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.14、已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.15、在数列中，，，若，则正整数____________.16、在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________四、解答题17、设是数列的前n项和，已知，.(1)求，；(2)令，求.18、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x (单位：千万元)对每件产品成本y (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m (单位：千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润=年销售额一年投入成本)参考公式：对于一组数据、、……、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.19、记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.(1)求A；(2)若点D在边上，且，，求.20、如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.(1)求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.21、已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.22、已知函数，.(1)当时，，求实数a的取值范围；(2)已知，证明：.
参考答案1、答案：C解析：由题意得，，故选：C.2、答案：B解析：因为，，则，故集合的元素个数为2.故选：B.3、答案：D解析：因为，所以，所以，所以，，故选:D.4、答案：D解析：由，，，则，，又，，则，即，所以.故选：D.5、答案：A解析：如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,进而可得取的中点为N，过的中点P作，连接,所以,,故,在直角三角形PMN中，故，由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，故选：A6、答案：A解析：设过点且方向向量为的光线，经直线的点为B，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又，故，，则，故，离心率.故选：A7、答案：D解析：因为恒成立，所以，即，所以或，,所以或，,当,时，，,则，与题意矛盾，当,时，,,符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为().故选：D8、答案：B解析：因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在R上为增函数，即函数在R上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.9、答案：BC解析：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D错误.故选：BC.10、答案：ACD解析：显然是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为，且a，,则，；，；，.故选：ACD.11、答案：BD解析：双曲线的标准方程为，则，易知点、，双曲线的渐近线方程为.对于A选项，当轴，直线的方程为，联立，可得，此时，，则，此时，的周长为，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线上，因为若直线交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，所以，，即，B对；对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，因为直线l与双曲线的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，，可得，联立可得，即点，联立可得，，即点，所以，，，所以，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，，当时，，当时，，因为函数在上单调递减，此时，当时，因为函数在上单调递减，此时，综上所述，的取值范围是，D对.故选：BD.12、答案：BCD解析：将正四面体放入正方体中，以点D为原点，以DE，DF，DG所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，则，，，因为点M，N分别为和重心，所以点N的坐标为，点M的坐标为所以设，则，所以，所以，，对于A：因为，，所以，当时，即，，取得最小值，故A错误；对于B：若，则，所以，因为，，设平面的一个法向量为，则，取，则，因为，所以平面，即平面，故B正确；对于C：若平面，则，即，，即，设平面的一个法向量为，因为，，则，取，则，因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，又因为点N为等边三角形的重心，所以点N为等边三角形的外心，外接圆半径为，设三棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确；对于D：因为点N的坐标为，点M的坐标为，所以，设平面的一个法向量为，因为，，所以，取，则，因为，且直线平面，所以直线平面，所以点N到平面的距离就是直线到平面的距离，则点N到平面的距离，即直线到平面的距离为，故D正确，故选：BCD.13、答案：8解析：由X(单位：分)服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.故答案为：814、答案：3(答案不唯一)解析：二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为3.故答案为：3(答案不唯一)15、答案：10解析：由，，令，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，又为正整数，所以，即，解得或(舍去).故答案为：10.16、答案：①.;0.5②.解析：设，，当,时，则，即，当,时，则，即，当,时，则，即当,时，则，即，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：则.如下图，设，，显然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，，即，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，y有最小值，且，所以.故答案为：；.17、答案：(1)(2)解析：（1）由得即，即，又，所以，，（2）当时，，当时，，两式相加可得，得，由于，所以18、答案：(1)(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值解析：（1）令，则y关于u的线性回归方程为，由题意可得，，则，所以，y关于x的回归方程为.（2）解：由可得，年利润，当时，年利润M取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.19、答案：(1)(2)解析：（1）解：因为，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.（2）解：因为，则B为锐角，所以，，因为，所以，，所以，，设，则，在和中，由正弦定理得，，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.20、答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）取中点M，连接、，如图所示：，点D是中点，，又是的中点，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由(1)知平面，则，设，则，，，，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，，故直线与平面所成角的正弦值为.21、答案：(1)(2)或解析：(1)设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得，所以C的方程为(2)由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，联立，所以，设直线l的倾斜角为，则所以，所以，由题意可知四边形为梯形，所以，设，则，所以，当,,单调递增，当,,单调递减，所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为：，即或22、答案：(1)(2)证明见解析解析：（1）解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.（2）证明：当时，由(1)可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数上单调递增，故，则，所以，，，所以，.