通用类第二节 动能定理教案

3、动能定理

动能定理

m dv  F

vdt

 dr

mv dv

 F dr

dt

mv dv

 d( 1

2

mv2 ), F

dr

 δW

－－质点动能定理的微分形式

－－质点动能定理的积分形式

由 d( 1

2

mi vi )

 δWi

d( 2mivi )

 δWi

得  dT  δWi

－－质点系动能定理的微分形式

T2 T1

 Wi

－－质点系动能定理的积分形式

例1

已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在1

 70

时静止释放，冲断试件后摆至

求:冲断试件需用的能量。

2  29



 解:

分析整体，受力如图所示。

T1  0,T2  0

0  0 

mgl(1 cos1) 

mgl(1 cos2 ) Wk

得冲断试件需要的能量为

Wk 

78.92J

 Wk

A

冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。

例2

已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, 动滑动摩擦

因数为f ,初始静止。

求:O 走过S 路程时ω， 。

  解:

分析圆盘，受力如图所示，

圆盘速度瞬心为C

T1  0

 R

T2 

1 mv

2  1

mR2

( )

2  3 mv 2

2 O 2 2 4 O

W 

Fs  2mgfs

W  T2

T1

F s  2mgfs 

3     mv 2

4                              O

(a)

v  2

将式(a)两端对t 求导

得 a O 

2 (F

3m

    2mgf )

例3

已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ，

m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。

求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度

 解:

分析轮C与轮O整体，受力如图所示。

T1  0

T  1 (m R 2 )2

    1 m v

2  1 1

2 2

  vC ,

 vC

2 2 1 1 1

2 2 C

( m2 R2 ) 2

1 R 2 R

W12

 M

   m2 gs

sin

2 2

W12

 T2

1 2

T1

v 2

M  m gs sin

  C (2m

 3m )

(a)

   s R1

2

vC  2

4 1 2

式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得

1 (2m  3m )v a  M vC    m gv sin



1 2 C C 2 C

1

a  2 (M  m2 gR1 sin )

C (2m  3m )R

1 2 1

 动能定理 

例4

已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止,

不计摩擦.

求:当A 运动到O点时,

vA  ？

 解:

分析整体。

T1  0

C  

ABCC 

3 l

2 AB

AB

 vB

l

,OB

 vB

AB

 OB C

T  T  T  1 mv2

2 AB OB 2 C

 1 J  2  1 J  2  4 ml2 2

2 C AB 2 0 OB 3 AB

W  M

 2mg(1 cos ) l

2

W  T2

T1

AB  2l

3 M

m

   mgl(1 cos )

vA  AB ·2l

提问：是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？