特训10 期中解答题（题型归纳39题，12.1-14.2）-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

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特训10 期中解答题（题型归纳39题，12.1-14.2）
一、解答题
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)利用幂的运算性质进行计算：．
【答案】(1)+5
(2)﹣12
(3)1
【分析】（1）先对平方进行开方，去绝对值，除法运算；然后去括号，合并同类项即可；
（2）用平方差公式求解；
（3）先开方化为同底数幂，再乘除．
(1)
解：


；
(2)
解：


；
(3)
（3）



．
【点睛】本题考查了平方开方，去绝对值，平方差公式，同底数幂的乘除运算等知识．解题的关键在于正确运用计算法则求解．
2．计算：
【答案】2.
【解析】原式=
=
=
=．
3．计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】根据分数指数幂和零指数幂的运算法则求解即可．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题考查了分数指数幂和零指数幂，解题的关键是熟练掌握分数指数幂和零指数幂的运算法则．
4．计算：．
【答案】7．
【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算法则，进行运算即可求得．
【解析】解：




．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆运算及同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键．
5．计算：．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解析】解：

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
6．计算与求值：
(1)计算：；
(2)求下列各式中的x；
①；    
②．
【答案】(1)；
(2)①；②

【分析】（1）先算开方，化简绝对值，再算加减法；
（2）①利用平方根的意义求解；②利用立方根的意义解答求解．
【解析】（1）解：


；
（2）①，
∴，
解得：；
②，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，绝对值，立方根，平方根的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．
7．已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】先根据算是平方根和平方根的定义求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值，最后求出的值即可根据平方根的定义求出答案．
【解析】解：∵，
∴ ，
解得：，
∵的平方根是，
∴，即
解得：，
∵，
∴
∵c是的整数部分，
∴，
∴，
∵16的平方根为，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了算是平方根，平方根和无理数的估算，正确求出a、b、c的值是解题的关键．
8．已知，求的值．
【答案】.
【分析】利用平方法先对平方可得，再将已知代入得原式的平方=，根据可得原式为负数，即可求得原式的值为.
【解析】解：∵=，
又∵
∴==，
∵
∴＜0，
∴==
【点睛】本题考查了分数指数幂的意义和二次根式的化简求值，利用平方对代数式变形整体代入是解题的关键.
9．已知，求的值.
【答案】1.
【分析】利用立方差公式和完全立方公式运算，即可解答
【解析】提示：，所以，所以，，则.
【点睛】此题考查立方差公式和完全立方公式，掌握运算法则是解题关键
10．利用指数运算规律计算：.
【答案】1.
【分析】利用同底数幂的乘法进行运算即可
【解析】因为，
所以原式
.
【点睛】此题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键
11．如图，已知A、B两点在数轴上对应的数分别为和1．

(1)点A到点B的距离为______．
(2)数轴上存在一点M，使M到A的距离是M到B距离的2倍，求点M所表示的数．
(3)在点B右侧的数轴上取点D，使D到B的距离是个单位长度，如果点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，求的绝对值．
【答案】(1)4
(2)或
(3)

【分析】（1）求出点A与点B对应的数的差的绝对值即可；
（2）设出未知数，写出点M到点A的距离和点M到点B距离，根据题中给的等量关系，列出方程，解出方程的解即可求出；
（3）根据题意写出点D所表示的数，然后可以写出的范围，即可写出a和b的值，即可求出的绝对值．
【解析】（1）点A到点B的距离为：，
故答案为4；
（2）设点M表示的数为x，
则点M到点A的距离为，点M到点B距离为，
∵M到A的距离是M到B距离的2倍，
∴，
则或，
解得：或，
综上所述：点M所表示的数为5或；
（3）根据题意可得：点D所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
∵点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
综上所述：的绝对值为．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值的应用以及无理数的估值，解题关键：一是会用绝对值表示数轴上两点间的距离，二是要熟练掌握无理数的估值．
12．已知实数x、y满足（x﹣2）2＋＝0

(1)x＝　　，y＝　　；
(2)在数轴上，若点A、点B分别表示实数x，y，
①在数轴上标出点A、点B的大致位置；
②数轴上，若点C到点B的距离为1.5，则点C所对应的实数为：　　．
【答案】(1)2，﹣2
(2)①见解析；②﹣0.5或﹣3.5

【分析】（1）根据（x﹣2）2+＝0，且（x﹣2）2≥0，≥0，得到（x﹣2）2＝0，＝0，解得x＝2，y＝﹣2；
（2）①在数轴上描出2，﹣2的点，分别用A、B表示；②设点C对应的实数为m，根据点C到点B的距离为1.5，写出|m﹣（﹣2）|＝1.5，求得m＝﹣0.5或﹣3.5．
【解析】（1）解：∵（x﹣2）2+＝0，且（x﹣2）2≥0，≥0，
∴（x﹣2）2＝0，＝0，
∴x＝2，y＝﹣2；
故答案为：2，﹣2；
（2）①点A、点B的大致位置如图所示：

②设点C对应的实数为m，由题意得：
|m﹣（﹣2）|＝1.5，
解得：m＝﹣0.5或﹣3.5；
故答案为：﹣0.5或﹣3.5．
【点睛】本题考查了数轴和数轴上的点与实数的关系，非负数的性质，算术平方根的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识，解题关键是熟练掌握非负数的性质和数轴上两点之间距离等相关知识．
13．阅读材料，解答问题：
材料∵即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)的小数部分为______；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根是

【分析】（1）估算出的范围，即可得到的整数部分和小数部分；
（2）根据5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a−b＋c的值，再求它的平方根．
【解析】（1）解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是−3，
故答案为：−3；
（2）解：∵5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴5a＋2＝33＝27，3a＋b−1＝42＝16，c＝3，
∴a＝5，b＝2，c＝3，
∴3a−b＋c＝15−2＋3＝16，
∴3a−b＋c的平方根是±4．
【点睛】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．
14．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．

【答案】（1）5；  （2）
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【解析】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．
（2）如图所示，能，正方形的边长为．

【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
15．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．

（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．

【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【解析】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2）4；（3）的最大值为255
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴对10进行1次操作后变为3；
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∴对200进行3次作后变为1，
故答案为：3；1；
（2）设m进行第一次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵要经过两次操作．
∴．
∴．
∴．
故答案为：4．
（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
∵要经过3次操作，故．
∴．
∵是整数．
∴的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
17．（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是3的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图．

由面积公式，可得______________．
当足够小时，略去，得方程_______________．
解得____________．即_______________．
（2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1），，1，1；（2）见解析
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）画一个边长为2的正方形，大正方形的面积=左下角正方形的面积+2个长方形的面积+小正方形的面积得到，略去，求出y，从而得到的近似值．
【解析】解：（1）由面积公式，可得．
当足够小时，略去，得方程．
解得．即；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
设，可画出如下示意图，
，
由面积公式，可得，
整理得，
当足够小时，略去，得方程，
解得，
∴
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解一元一次方程，考查数形结合的思想，画出示意图是解题的关键．
18．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为（）．
请回答：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)5，
(2)1
(3)

【分析】（1）确定即可解答；
（2）利用估算分别得到，，再代入计算即可；
（3）利用估算方法得到，确定的整数部分是12，小数部分是，由此得到，计算出的值即可．
【解析】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）∵，即，
∴的小数部分，
∵，即，
∴的整数部分，
∴


；
（3）∵，
∴，即，
∴的整数部分是12，小数部分是，
∵x是整数，且，
∴，
∴，
∴的相反数是．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键．
19．如图，已知，根据下列语句画图．

（1）过点作，垂足为；
（2）过点作，交于点；
（3）点到直线的距离是线段_______的长度．
【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）．
【分析】（1）根据垂线的定义画出直线AD即可；
（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；
（3）根据点到直线的距离判断即可．
【解析】（1）如图，直线AD即为所求

（2）如图，直线DE即为所求

（3）点到直线的距离是线段CD的长度．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定及性质、点到直线的距离，熟练掌握垂线、平行线、点到直线的距离的定义是解题的关键．
20．根据要求作图并写好结论：
(1)画三角形，使得的长度等于厘米，，；
(2)在三角形中，作出的角平分线；
(3)在三角形中，作出边上中线．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据角平分线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形的中线的定义画出图形即可．
（1）
如图，即为所求；

（2）
如图，射线即为所求；
（3）
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．按下列要求画图并填空：如图，
（1）过点A画直线BC的平行线AD；
（2）过点B画直线AD的垂线段，垂足为点E；
（3）若点B到直线AD的距离为4，BC=2，则=________．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4
【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；
（2）根据垂线的画法画出即可；
（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．
【解析】解：（1）如图:AD即为所求
（2）如图: BE即为所求
                   

（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；
所以；
故答案为4
【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．
22．如图，直线、相交于点，平分，于点．

(1)若，求的度数；
(2)试说明．
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）根据平角的定义结合已知条件，得出，继而根据垂直的定义得出  进而得出，根据角平分线的定义即可求解；
（2）根据等角的余角相等，得出，则，根据对顶角相等，得出，即可得出
【解析】（1）∵ ，
，
，
，
，     
平分，
；
（2） ，
，，
，
，
，
，   
．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等，数形结合是解题的关键．
23．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点．

(1)画出直线和点；
(2)连接、，如果，求的度数；
(3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)28

【分析】（1）根据折叠的性质画出图形；
（2）根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可；
（3）根据折叠的性质得到，，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比求出的面积，进而得到的面积，即可．
【解析】（1）解：如图，直线和点即为所求；

（2）解：∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，

由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形的对应边、对应角相等是解题的关键．
24．如图，点E是直线AB、CD外一点，直线AB和ED相交于点F．

（1）如果AB∥CD，那么∠D=∠B+∠E吗？
（2）如果∠D=∠B+∠E，那么AB与CD平行吗？
【答案】（1）相等；（2）平行
【分析】（1）由平行线的性质可得∠D=∠EFA，由外角的性质可得∠EFA=∠B+∠E，进而可证结论成立；
（2）由外角性质可得∠EFA=∠B+∠E，结合D=∠B+∠E，可证∠D=∠EFA，进而可证结论成立．
【解析】答案：（1）相等，（2）平行，
解析：（1）因为AB//CD（已知），
所以∠D=∠EFA（两直线平行，同位角相等），
因为∠EFA=∠B+∠E（一个外角等于不相邻的两个内角之和），
所以∠D=∠B+∠E（等量代换）；
（2）因为∠D=∠B+∠E（已知），
又因为∠EFA=∠B+∠E（一个外角等于不相邻的两个内角之和），
所以∠D=∠EFA（等量代换），
所以AB//CD（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和．也考查了平行线的判定与性质．
25．如图，在△ABC中，，，，CD是△ABC的角平分线，于点E，．

（1）用两种方法计算△ABC的面积；
（2）探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）作于点，根据角平分线的性质得到DE=DF，由此利用底乘以高的一半求三角形的面积，也可利用面积相加求△ABC面积；
（2）由（1）的面积公式即可整理得到.
【解析】（1）作于点.
平分于点E,
∴DE=DF,
∴S△ABC=，
；
（2）由（1），

【点睛】此题考查三角形角平分线的性质定理，三角形面积的证法，题中由CD是角平分线作DF⊥BC是解题的关键.
26．如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线．

(1)与有什么关系，为什么？
(2)，有什么位置关系？请说明理由；
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）根据角平分线的定义和，即可得出答案；
（2）通过等量代换证明，根据同位角相等、两直线平行，可得．
【解析】（1）解：，理由如下：
，分别是，的平分线，
，，
，
，
即；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定，熟练进行等量代换是解题的关键．
27．如图，过射线上的点和点分别向两侧作射线，，，．已知，．过点作，交于点，且平分．

(1)求的度数．
(2)若，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1），得到，，得到，利用即可得解；
（2）根据平分，推出，即可得证．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线相等，是解题的关键．
28．如图，将一副标准的三角尺按如下四种不同位置摆放．

(1)图①中，与的关系是__________，理由是__________；
(2)图②中，与的关系是__________，理由是__________；
(3)图③中，与的关系是__________，理由是__________；
(4)图④中，与的关系是__________，理由是__________．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
(4)，理由见解析

【分析】（1）利用同角的余角相等判断即可；
（2）利用平角的定义判断即可；
（3）利用邻补角的性质计算即可；
（4）利用周角减去2个直角即可．
【解析】（1）解：如图①，，
∵，
∴；
（2）如图②，，
∵，
∴；
（3）如图③，，
∵，
，
∴；
（4）如图④，，
．
【点睛】本题考查了余角和补角，结合图形找出与之间的关系是解题的关键．
29．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．
求证：平分．
证明：∵，，
∴________°（________________）．
∴（________________________________）．
∴（________________________________），
（________________________________）．
∵（已知），
∴_____（________________）．
∴平分（________________）．

【答案】；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；等量代换；角平分线的定义
【分析】结合图形利用平行线的判定和性质解答即可．
【解析】∵，，
∴（垂直的定义）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴平分（角平分线的定义）．
故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】】本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
30．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，.

(1)若，求的度数；
(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，请直接写出结果.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或

【分析】（1）根据，，即可求解．
（2）根据图形可得，，即可求解；
（3）分类讨论，根据平行线的性质即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴
∴
（2）结论：
理由：∵

∴
（3）如图，当时，，
此时；

如图,当，即时，，
此时，

综上所述，当或时，．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角板中的角度计算，分类讨论是解题的关键．
31．已知，，点P在直线上，E为上一点，F为上一点．

(1)如图①，当点P在线段上运动时，连接，求的值；
(2)如图②，当点P在线段延长线上运动时，连接，求的值；
(3)如图③，当点P在线段的延长线上运动时，连接，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析

【分析】（1）如图所示，过点P作，则，由，平行线的性质得到，由此即可推出；
（2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，即可推出；
（3）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，由此即可推出．
【解析】（1）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；

（2）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；

（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
32．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．

(1)如图1，三角尺的角的顶点在上．若，则的度数为　　．
(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系．
(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”可得，再利用，结合
即可获得答案；
（2）过点作，易得，根据“两直线平行，内错角相等”可推导
，，然后证明即可；
（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再结合
，，易得，即可获得答
案．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，过点作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
33．如图，在中，平分交于点，点D、E分别在，的延长线上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证；
（2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【解析】（1）证明：平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，解题的关键是熟练进行等量代换．
34．根据题意将下列空格补充完整：
如图，，，．
求证：．

证明：∵
∴__________（__________）
∴（__________）
__________（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴__________（__________）
∴（__________）
∴（__________）
【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解析】证明：∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
35．如图，在中，是的高．

(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．
(2)如图2，延长到点，和的平分线交于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论；
（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数．
【解析】（1）解：，，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
；
（2）解：和的角平分线交于点，
，，
，，
，
即，
是的高，
，
．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．
36．如图，射线平分，

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，已知外一条射线，，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据两直线平行内错角相等，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线有关的计算、平行线的性质、三角形的外角的性质，解本题的关键在理清角之间关系．
37．在中，，点D在边上（点B、C除外）点E在边上，且．

(1)如图1，若．
①当时，求的度数；
②试推导与的数量关系．
(2)深入探究：如图2，若，但，其他条件不变，试探究与的数量关系，要求有简单的推理过程．
【答案】(1)①30°；②，见解析
(2)，见解析

【分析】（1）①根据三角形的外角的性质求出 ，结合图形计算即可；
②设 ,根据三角形的外角的性质求出，结合图形计算即可；
（2）设,根据三角形的外角的性质求出，结合图形计算即可．
【解析】（1）①∵是的外角，
∴，，
∴，
∴；
②∵是的外角，
∴，
∵，
∴，，即；
（2）设，∴，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
38．在中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，设，，．

(1)如图1，若点在线段上，且，求的度数；
(2)若点在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)由图2可得，由图3可得，理由见解析

【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，，两式相加，即可求解．
（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．
【解析】（1）解：根据图1可得：，，
∴，
∵，
∴，，
即；
（2）解：如图2，设交于点，
∵，，
∴；
如图3，设交于点，
∵，，
∴；

【点睛】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
39．已知：，一块三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．

(1)如图，若，则α＝　 　°；
(2)若的平分线交边于点F，
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系．
【答案】(1)45
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）过点E作，求出，利用平行线的性质得出即可；
（2）①根据，可得，再根据角平分线性质得出，利用内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得出，即可求出与α之间的数量关系．
【解析】（1）如图，过点E作，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵，
∴，且，
∵平分，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定，确定角之间的关系．