广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校2022-2023学年下学期八年级期中考试数学试卷+

这是一份广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校2022-2023学年下学期八年级期中考试数学试卷+，共17页。试卷主要包含了不等式组的解集在数轴上可表示为，下列因式分解正确的是，在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
哈工大（深圳）实验学校2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个地铁标识图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．

2．已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．3x+1＜3y+1 D．

3． 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．

4．下列因式分解正确的是（　　）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B．a2+ab+b2＝（a+b）2
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）

5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（　　）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）

6． 若关于x的方程2x+2＝m﹣x的解为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜

7． 如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（　　）

A．80° B．85° C．90° D．105°

8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．不确定

9． 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　）
A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5

10．如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．正确个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（每题3分，共15分）
11．若x2m+1﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　．

12．如图，CE是∠ACD的平分线，CD∥AB，DE⊥CE．若∠DEB＝32°，则∠A的度数为 　 　．


13．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为　 　．


14．已知一个直角三角形的两条边分别为3cm和5cm，那么这个直角三角形的第三条边为　 　cm．

15．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB＝2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为　 　．

三．解答题（共55分）
16．（8分）把下列多项式分解因式
（1）﹣a+a3b2； （2）（x﹣1）（x﹣3）+1．



17．（5分）已知：x＝，y＝﹣2，求代数式x2﹣2xy+y2的值．





18．（6分）解不等式组：并将解集在数轴上表示．







19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，4），B（1，1），C（5，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）以O为对称中心，画出△ABC关于O成中心对称的图形△A'B'C'．

20．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．




21．（10分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？






22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点C的坐标为（4，﹣4）．
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；（用含b的式子表示）
（2）当b＝4时，如图所示．连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）过点C作平行于y轴的直线l2，点P在直线l2上．当﹣5＜b＜4时，在直线l1平移的过程中，若存在点P使得△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个地铁标识图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、既是轴对称又是中心对称的图形，故本选项正确；
B、是轴对称，不是中心对称的图形，故本选项错误；
C、不是轴对称，是中心对称的图形，故本选项错误；
D、不是轴对称，也不是中心对称的图形，故本选项错误．
故选：A．
2．已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．3x+1＜3y+1 D．
【解答】解：A、由x＜y，可得x﹣2＜y﹣2，成立；
B、由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，不成立；
C、由x＜y，可得3x+1＜3y+1，成立；
D、由x＜y，可得＜，成立；
故选：B．
3．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式组的解集在数轴上可表示为：．
故选：D．
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．a2+ab+b2＝（a+b）2
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
【解答】解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意，
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（　　）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，
∴平移后的点的横坐标是1﹣3＝﹣2，纵坐标是3+4＝7，∴坐标变为（﹣2，7）．故选：A．
6．若关于x的方程2x+2＝m﹣x的解为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜
【解答】解：由2x+2＝m﹣x得，x＝，
∵方程有负数解，∴＜0，解得m＜2．故选：B．
7．如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（　　）

A．80° B．85° C．90° D．105°
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．不确定
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝6，AC＝4，∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．
9．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　）
A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5
【解答】解：∵不等式恰好有3个整数解，∴4≤m＜5．故选：B．
10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．正确个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是等边△ABC的内心和外心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；
∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．
故选：B．

二．填空题（共5小题）
11．若x2m+1﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m＝　0　．
【解答】解：∵x2m+1﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，
∴2m+1＝1，
解得：m＝0．
故答案为：0．
12．如图，CE是∠ACD的平分线，CD∥AB，DE⊥CE．若∠DEB＝32°，则∠A的度数为 　64°　．

【解答】解：∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∠DEB＝32°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED﹣∠DEB＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠AEC＝58°，
∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ACE＝2×58°＝116°，∴∠ACE＝∠AEC，
∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣116°＝64°．故答案为：64°．
13．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为　x＜﹣1　．

【解答】解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，
所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故答案为x＜﹣1．
14．已知一个直角三角形的两条边分别为3cm，5cm，那么这个直角三角形的第三条边为　　cm．
【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，5cm时，
则该三角形的斜边的长为cm．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为5cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为4cm．
故答案为：4cm或cm．
15．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB＝2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为　9　．

【解答】解：作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．

∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称，∴D′（6，8），
∴OD′＝＝10，
∵∠AOB＝90°，AB＝2，AC＝CB，∴OC＝AB＝1，
∵PD＝PD′，∴PC+PD＝PC+PD′，
∵OD′≤OC+PC+PD′，∴PC+PD′≥9，∴PC+PD的最小值为9，故答案为9．
三．解答题（共7小题）
16．把下列多项式分解因式
（1）﹣a+a3b2；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
【解答】解：（1）原式＝﹣a（1﹣a2b2）＝﹣a（1+ab）（1﹣ab）；
（2）原式＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．
17．已知：x＝，y＝﹣2，求代数式x2﹣2xy+y2的值．
【解答】解：x＝，y＝﹣2，
∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（﹣+2）2＝22＝4．
18．解不等式组：并将解集在数轴上表示．

【解答】解：，
解①得x≥﹣4，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1，
用数轴表示为
．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，4），B（1，1），C（5，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）以O为对称中心，画出△ABC关于O成中心对称的图形△A'B'C'．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，﹣4）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求作．

20．如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，

∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．

（2）解：∵BD平分∠ADC，EF⊥DA，EC⊥DC，
∴∠EDF＝∠EDC，∠EFD＝∠C＝90°，
∵ED＝ED，
∴△EDF≌△EDC（AAS），
同法可证△EAB≌△EAF，
∴S梯形ABCD＝2S△AED＝2××3×4＝12．
21．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
，解得
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元
（2）设该公司购买甲型机器人a台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得

解这个不等式组得
∵a为正整数，∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w＝6a+4（8﹣a）＝2a+32
∵k＝2＞0，∴w随a的增大而增大
当a＝2时，w最小，w最小＝2×2+32＝36（万元）
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点C的坐标为（4，﹣4）．
（1）点A的坐标为　（﹣2b，0）　，点B的坐标为　（0，b）　；（用含b的式子表示）
（2）当b＝4时，如图所示．连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）过点C作平行于y轴的直线l2，点P在直线l2上．当﹣5＜b＜4时，在直线l1平移的过程中，若存在点P使得△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．

【解答】解：（1）对于直线y＝x+b，令x＝0，得到y＝b，令y＝0，得到x＝﹣2b，
∴A（﹣2b，0），B（0，b）
故答案为（﹣2b，0），（0，b）；
（2）△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵b＝4，
∴A（﹣8，0），B（0，4），∵C（4，﹣4），
∴AB＝＝4，BC＝＝4，AC＝＝4，
∴AB＝BC，
∵AB2+BC2＝（4）2+（4）2＝160，AC2＝160，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）①如图2中，当AB＝AP，∠BAP＝90°，设直线l2交x轴于N．

∵OA＝2OB，设OB＝m，则OA＝2m，
由△AOB≌△PNA，可得AN＝OB＝m，PN＝OA＝2m，
∴ON＝3m＝4，∴m＝，∴PM＝，∴P（4，﹣）．
②如图3中，当AB＝AP′，∠BAP′＝90°时，设OB＝m，OA＝2m，
由△AOB≌△P′NA，可得AN＝OB＝m，P′N＝OA＝2m，
∵ON＝4＝2m﹣m，∴m＝4，∴P′N＝8，∴P′（4，8），
③如图3中，当AB＝PB，∠ABP＝90°时，同法可得P（4，﹣12）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（4，﹣）或（4，8）或（4，﹣12）．