2023年山西省太原市第五中学校中考二模数学试题（含答案）

这是一份2023年山西省太原市第五中学校中考二模数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
太原五中2023中考九年级适应性训练
初三数学(2023.4.20)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
3．庆祝新中国成立70周年，国庆假期期间，各旅游景区节庆氛围浓厚，某景区同步设置的“我为祖国点赞”装置共收集约639000个“赞”，这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于G点，若，则 的度数为（ ）

A．105° B．100° C．110° D．130°
6．解方程组用①-②，得（ ）
A． B． C． D．
7．如图，数轴上点A所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图；①分别以点O，A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；②连接，交于点E，交x轴于点F，则点F的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．在中，，，，那么的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
11．如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）

A． B． C．14 D．18
12．如图，矩形中，，，将矩形折叠后，A点的对应点落在边上，为折痕，和交于G点，当取最小值时，此时的值为（ ）

A． B． C． D．5
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）
13．计算：______________．
14．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______________度．
15．已知一个正n边形的每个内角都为120°，则______________．
16．已知m是方程的一个根，则代数式的值是______________．
17．A，B两地相距，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离与时间的关系如图所示，则甲出发______________小时后与乙相遇．

18．已知反比例函数，当时，y的取值范围是______________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．计算：
20．解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．
21．如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．

22．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
23．如图，在的外接圆中，弦平分，，过点B作圆的切线，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．

24．早在1999年已提出基础教育课程改革，简称“新课改”，到目前仍有一些学校没有进行课程改革，现在某市某镇进行调查，从该镇某校随机选取同年级的共40名学生，平均放在甲、乙两校进行学习（甲校20名，乙校20名），甲校使用新课改下的教育方法学习，乙校仍使用老方法教育学生，经过一学期的学习，进行同一张试卷测试，根据学生的成绩把学生划分成A，B，C，D，E五个等级（甲、乙的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：

（1）补齐直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；
（2）选择合适的统计量，比较甲乙两校的教学质量，并说明试验结果；
（3）请你结合甲乙两校的试验结果进行简要分析，如果你去上学，你会选择哪个学校？
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
（1）求的面积．
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
（3）双曲线上是否存在一点P，使得和的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，在中，，，D为边上的点，将绕D逆时针旋转得到．
（1）如图1，若．
①求证：；
②直接写出与的数量关系为____________；
（2）如图2，D为边上任意一点，线段、、是否满足（1）中②的关系，请给出结论并证明．

27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．

太原五中中考模拟卷2023.4.20
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。）
1．【分析】倒数：乘积为1的两个数，依此即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴的倒数为．
故选：B．
【点评】本题考查倒数，理解乘积为1的两个数叫做互为倒数是解题关键．
2．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
5．【分析】由长方形的对边平行得到AE与BF平行，利用平行线的性质得到，，根据折叠的性质得到，那么，即可确定出的度数．
【解答】解：∵，
∴，，
由折叠的性质得到，
∴，
则．
故选：B．

【点评】此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
6．【分析】根据加减消元的方法，即可判断．
【解答】解：方程组，
得，
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握加减消元的方法是解题的关键．
7．【分析】求出点A所表示数的绝对值，即可求出答案．
【解答】解：如图，，
由画图可知，
所以点A到原点的距离为，
故点A所表示的数是．
故选：D．

【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，符号和绝对值是确定有理数的必要条件．
8．【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两球上的数字都是奇数的概率即可．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
第1球
第2球
1
2
3
4
5
1

（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）

（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）

（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）

（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）

共有20种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字都是奇数的有6种，所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
9．【分析】先计算出，再根据平行四边形的性质得到，接着利用基本作图得到EF垂直平分OA，则，，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OF，从而得到F点坐标．
【解答】解：∵B（4，0），C（5，），
∴，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴，
由作法得EF垂直平分OA，
∴，，
∵，
∴，
∴F点坐标为（2，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
10．【分析】根据直角三角形的边角关系，求出的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
∵，
∴，
故选：D．
【点评】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
11．【分析】由图②知，，，，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．
【解答】解：由图②知，，，，
过点B作于点H，

设，则，
则，即：，
解得：，
则，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
12．【分析】过点G作于M，由翻折的性质知点G为的中点，则GM为△的中位线，可知G在GM上运动，当取最小值时，此时与C重合，利用勾股定理和相似求出EG的长即可解决问题．
【解答】解：过点G作于M，
∵将矩形ABCD折叠后，A点的对应点落在CD边上，
∴点G为的中点，
∴GM为△的中位线，
∵在CD上运动，
∴G在GM上运动，
∴当取最小值时，此时与C重合，

，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在△BFG和△DEG中，
，
∴△BFG≌△DEG（ASA），
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明G在GM上运动是解决问题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）
13．【分析】把变为，再套用平方差公式计算得结果．
【解答】解：原式




故答案为：1
【点评】本题考查了因式分解的提公因式法，把变为，套用平方差公式是解本题的关键．
14．【分析】坡度坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：∵，
∴坡角．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
15．【分析】根据多边外角和360°进行求解即可．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都为120°，
∴正n边形的每个外角，
∴多边形边数．
故答案为：6．
【点评】本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形的外角和为360°．
16．【分析】利用一元二次方程根的定义得到，然后把代入中进行整式的运算即可．
【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
17．【分析】根据题意结合图象分别求出甲减速后的速度已经乙的速度，再列方程解答即可．
【解答】解：甲减速后的速度为：，
乙的速度为：，
设甲出发x小时后与乙相遇，根据题意得
，
解得．
即甲出发2小时后与乙相遇．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
18．【分析】求出和对应的y的值，再根据x的范围求出答案即可．
【解答】解：把代入得：，
把代入得：，
所以当时，y的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：．


．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．【分析】根据一元一次不等式组即的解法即可求出答案．
（
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
∴x的最小整数为，最大整数为8，
∴x的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集．
21．【分析】（1）；
（2）四边形ACDF是平行四边形．
【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（ASA）；
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
22．【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（）个A品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，可得AB是直径，由切线的性质可得，可证；
（2）由锐角三角函数可求，由勾股定理可求AF的长，由锐角三角函数可求AB，BE的长．
【解答】证明：（1）设AB与CD的交点为F，连接BD，

∵，AB平分，
∴，，
∴AB是直径，
∵BE是△ACD的外接圆的切线，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．【分析】（1）由图中的数据，易求出B等级的人数为6名，，相应扇形的圆心角为：．
（2）进行样本比较，即能估算总体，一般选择平均数或方差，但对于初中生，方差难度大．
（3）思想积极，言之有理．
【解答】解：（1）（名）
即B等级的人数为6名．
，即，相应扇形的圆心角为：．
（2），
，
，由样本估计总体的思想，说明通过新课改下的教育方法甲校得教学质量高于乙校教学质量．
（若没说明“由样本估计总体”不扣分）
（3）应选甲校．（思想积极，言之有理，酌情给分）

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数的求法，由样本估计总体的思想，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25．【分析】（1）把C（1，4）代入求出，把（4，m）代入求出m的值；把C（1，4），D（4，1）代入得出解析式，求出，，得出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据△OCD的面积代入求出即可；
（2）设直线AB向下平移n个单位长度，则直线，根据题意列出方程，则根的判别式；
（3）双曲线上存在点P，使得，这个点就是的平分线与双曲线的交点，易证，则．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入，
得，
把（4，m）代入，得；
∴反比例函数的解析式为，．
∴D（4，1）．
把C（1，4），D（4，1）代入得：，
解得，．
∴一次函数的解析式为，
把代入，得，
∴．
∴；
（2）设直线AB向下平移n个单位长度，则直线，
根据题意列出方程：，
整理，得．
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
所以．
解得，．
所以将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；
（3）双曲线上存在点P（2，2），使得，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴，
∴当点P在的平分线上时，，又，
∴△POC≌△POD，
∴．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得，
又∵这个点是的平分线与双曲线的交点，
∴，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即，，
∴，
∵，
∴，，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点C、D关于直线对称，P（2，2）或P（，）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，用了数形结合思想．
26．【分析】（1）①证明△BDE≌△BDA（SAS），可得结论．
②利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（2）能满足（1）中的结论．将△ACD绕点A顺时针旋转120°得到，使AC与AB重合，连接，，AE，设AB交于点J．利用直角三角形30度角的性质以及勾股定理解决问题即可．
【解答】（1）①证明：如图1中，

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋转得：，，
∴△BDE≌△BDA（SAS），
∴．
②解：∵△BDE≌△BDA，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）能满足（1）中的结论．
理由：将△ACD绕点A顺时针旋转120°得到，使AC与AB重合，连接，，AE，设AB交于点J．

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可证，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△中，，
∵，
∴．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理、旋转的性质、动点的运动路径问题等；解题关键是通过旋转变换构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线BC的解析式为，如图1，过点P作轴交BC于点D，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设，N（2，s），分三种情况：①当BC为的边时，②当BC为的边时，③当BC为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴，
设直线BC的解析式为，把B（4，0），C（0，4）代入，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
如图1，过点P作轴交BC于点D，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，P（2，4）．
（3）如图2，沿射线AC方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，N（2，s），
①当BC为的边时，
则，，
∴，
解得：，
∴；
②当BC为的边时，
则，，
∴，
∴解得：，
∴；
③当BC为的对角线时，
则，
解得：，
∴；
综上所述，N点的坐标为：，，．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．