2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合 附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合 附答案，共58页。试卷主要包含了定义，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合附答案
1．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，点在轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点．

（1）求、的值和点的坐标；
（2）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，点的坐标为，，求关于的函数关系式，并求当取何值时，的值最小，最小值是多少？



2．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．

①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．






3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象过点，，点是抛物线在第一象限部分上一个动点，连接，交于点，连接，，（是常数）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当点恰好是抛物线的顶点时，求点的坐标，并直接写出此时的值；
（3）当最大时，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，旋转后点的对应点为点，连接，如果，请直接写出的值．







4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为．
（1）求点坐标；
（2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标；
（3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
















5．综合与探究：如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点．

（1）求二次函数的表达式．
（2）是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴于点，交于点．当时，求的值．
（3）在（2）的条件下，是直线上一点．当是直角三角形时，求点的坐标．






6．已知，如图四边形为平行四边形，点分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且．

（1）试求该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当面积最大时，求点P坐标．
（3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围．







7．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与轴相交于点，点在线段上，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，求点的坐标；
（3）当点为直线上的一个动点时，以点为顶点的四边形能成为平行四边形吗？如果不能成为平行四边形，请说明理由；如果能成为平行四边形，请直接写出点的坐标．




8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线（，，为常数，且）经过，两点，与轴正半轴交于点．

（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，连接，，点的横坐标为，当为多少时，的面积最大，最大面积为多少？
（3）在对称轴上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由．






9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）、点B（3，0），经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点F，抛物线的对称轴与抛物线交于点H，与x轴交于点G．若点Q为抛物线对称轴上一点，点P（c，0）为x轴上任意一点，且PQ⊥FQ，当点Q在线段GH（含端点）上运动时，求c的取值范围．







10．如图，已知一次函数的图象分别与轴轴交于点，，在二次函数中，是一个不为0的常数．

（1）若二次函数的图象过点，则的值是______；
（2）点是二次函数图象的顶点，连接，若，求的值；
（3）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，设点的横坐标为，且，连接．能使与坐标轴所成的夹角等于的有几个？请直接写出的值．




11．如图，是以为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段上从点A至点D运动，同时动点Q在线段上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．







12．如图，若一次函数y=﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y=ax2＋bx﹣3的图象过A、B、C三点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD＋∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．










13．在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．
（1）若函数的图象经过点，求函数的函数表达式．
（2）若一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．
（3）已知点和在函数的图象上，若，求的取值范围．









14．已知，二次函数的图象与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）若，如图1，已知A，C两点的坐标为．
①求抛物线的解析式，并求出B的坐标．
②点P是抛物线上第一象限内一个动点．y轴上有一点，连接交于点H，若H恰好平分，求点P的坐标．
（2）若，，，，如图2，抛物线与一次函数的图象交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线上是否存在唯一一点Q，使得？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．













15．如图，已知一次函数的图像与轴交于点A，与二次函数的图像交于轴上的一点B，另一交点为D，二次函数图像的顶点C在轴的正半轴上，且OC=2．

（1）求二次函数的表达式；
（2）设P为轴上的一个动点，当为直角三角形，且面积最小时，求点P的坐标；
（3）当时，抛物线的一段BC上是否存在一点Q，使点Q到直线AD的距离等于？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．






16．如图，已知抛物线经过轴上的、两点，直线经过点交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点．
（1）求一次函数的解析式和点、的坐标；
（2）如图，过点作轴的平行线，与直线、轴分别交于点、，当点为抛物线的顶点时，点关于直线的对称点为，求的面积；
（3）在（2）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？






17．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点，且．
求二次函数的表达式；
点为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点的坐标；
设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为，已知为轴上的一个动点，且为直角三角形，求点的坐标．





18．如图，已知一次函数与抛物线都经过轴上的点和轴上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，试求出点的坐标和△的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把△分成的两部分面积之比为1∶3，请求出点的坐标．


参考答案：
1．（1），点的坐标为；（2），当时，有最小值
【分析】（1）由直线求出A，B点的坐标，代入抛物线，求出a，c的值即可；求出抛物线的对称轴即可得到点M的坐标；
（2）过作直线于，则，，由勾股定理可得关于n的二次函数关系式，进行配方变形即可得到结论．
【解析】.解：（1）把代入得，
∴，

把代入得，解得，
∴；
又∵、在抛物线上，
∴，
解得，
所以抛物线的解析式为，
∴，
∴抛物线的对称轴为：x=2
把代入得，
∴点的坐标为；
（2）过作直线于，则，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∵a=，
∴当时，有最小值．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确运用待定系数法求二次函数关系式．
2．（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【解析】解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即
  
【点评】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
3．（1）二次函数；（2）m=2；（3）cos=，
【分析】（1）利用一次函数求出的图象与两轴点,点C，再用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过B作BF⊥AD于F，求出抛物线顶点D（1，4），A（-1，0），待定系数法求AD解析式AD解析式，联立方程组求出E（），由勾股定理求出AE，DE=，求出面积比，可求m=2；
（3）设D（n, ）,求出S△ABD=，求设直线AD的解析式为，联立，求交点E（），求出S△ABE，求面积比函数，，由性质，函数开口向下，时，求出点D（，），过D作DN⊥x轴于N，AF交BD于M，可证△AMB∽△DNB，可得，由勾股定理求出BD，，利用定义可求cos=，
【解析】（1）∵一次函数的图象与轴交于点,与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=3，则C（0，3），当y=0时，，，B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数；
（2）过B作BF⊥AD于F，
二次函数配方得，
顶点D（1，4），
一次函数的图象与轴交于A，当y=0时，，，
A（-1，0），
设AD解析式，
∴，
∴，
∴AD解析式，
∴，
∴，
∴E（），
∴AE=，DE=，
∴AE：DE=:=2:1，
，，
∴，
∴，
∴m=2；

（3）设D（n, ）,
S△ABD=，
设直线AD的解析式为，则，，
，
因式分解得，
∵点D在第一象限，，
∴，
∴直线AD的解析式为，
，
解得，
E（），
∴S△ABE=，
∴，
∴，
∵，函数开口向下，时，m最大，
∴点D（，），
过D作DN⊥x轴于N，AF交BD于M，
∵AF⊥BD，
∴∠AMB=∠DNB=90°，∠ABM=∠DBN，
∴△AMB∽△DNB，
∴，
∵AB=4，BD=，NB=，
∴，
∴cos=，

【点评】本题考查一次函数与两轴交点坐标，待定系数法求抛物线解析式，两函数交点坐标，勾股定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握一次函数与两轴交点坐标，待定系数法求抛物线解析式，两函数交点坐标，勾股定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键
4．（1）；（2），；（3），，，，
【分析】（1）根据点的坐标，分别求得、的值，然后利用待定系数法即可得到答案；
（2）过作轴，交于点，然后设出点的坐标，从而得的坐标，代入三角形面积公式即可得到答案；
（3）由（1）直线得，然后根据平移性质，得的顶点坐标，然后分类讨论：①当为菱形对角线时，②当为菱形对角线时，③当为菱形对角线时，联立方程，得点坐标，最后根据菱形的性质，列出方程，求解即可得到答案．
【解析】解：（1）把代入，得，
，
．
把代入一次函数，得，
．
．
联立方程：，
解得：或．
．
（2）割补法表示三角形面积：铅垂高水平宽，过作轴，交于点．

设，则，
，
即，
，
，．
（3）由（1）直线．
，
沿平移个单位，
向右平移5个，向下平移5个单位，
平移后表达式为：．
联立：，
，
．
为顶点，则，
设，，分类讨论：
①当为菱形对角线时，
，，
，

，
，
，即，
，

②当为菱形对角线时，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
③当为菱形对角线时，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
综上可得，的坐标为：，，，，．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、二次函数的性质，三角形的面积，菱形的性质，综合性较强，难度适中．
5．（1）；（2）2；（3）点的坐标为或
【分析】（1）根据一次函数的表达式求出点的坐标，把点，的坐标分别代入二次函数的表达式即可求解．
（2）分别用含的式子表示出线段和的长，根据列出方程求解即可．
（3）分、、三种情况讨论即可．
【解析】解：（1）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，解得．
∴．
把，分别代入，得

解得
∴二次函数的表达式为．
（2）∵点的横坐标为，直线轴于点，交于点，点在抛物线上，点在直线上，
∴，，．
∴，．
又∵，
∴．解得（舍去）或．
∴的值为2.
（3）如图，当时，，．
∴．
①当时，
∵，，
∴轴．
又∵轴，
∴．
∴点与点重合．
∴此时的坐标为．

②当时，过点作于点．
∵，，
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴点的横坐标为：，．
∴此时点的坐标为．
③不成立．
综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用以及相似三角形的判定和性质，有一定难度；熟练掌握所学知识并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
6．（1）；（2）点P坐标为；（3）
【分析】（1）根据一次函数解析式易求得，，再根据即可求得点B和点D的坐标，然后将点B和点D的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；
（2）当动点P运动t秒时．设底边上的高为h，作于点H，易得出，然后根据相似三角形的性质得出，求出的值，表示出△APQ的面积，并化为顶点式即可得出答案；
（3）可将所求转化为求顶点与BC、AD的距离的问题，求出距离即可得出答案．
【解析】解：（1）由，
令，得．所以点；
令，得．所以点．
，
点坐标为．
四边形是平行四边形，
点坐标为；
将代入二次函数，
可得，
二次函数的表达式为．
（2）当动点P运动t秒时．
设底边上的高为h，作于点H，



四边形是平行四边形，




，

即，
，
，
当时，达到最大值，点P坐标为
（3）
沿对称轴移动抛物线，使其顶点在四边形ABCD内，可转化为将点沿移动
故范围是到BC以及AD的距离
点到BC的距离为，到AD的距离为
m的取值范围为：．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题、相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，结合图形并掌握性质定理是解题的关键．
7．（1）；；（2）点的坐标为；（3）能，点坐标为：或或
【分析】（1）用待定系数法可分别求得二次函数和一次函数的解析式；
（2）易证，可得：，设点的坐标为，那么点的坐标为，可得DO、DE及CO的长度，从而可得关于m的方程，示得m，即可求得点D的坐标；
（3）由于DE∥OC，故只需DE=OC即可，分点D在点E的上方和点E的下方两种情况加以考虑即可．
【解析】（1）设二次函数的解析式为，把代入得，
∴二次函数的解析式为；
设一次函数的解析式为，
把分别代入得，，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）轴，，
，
，即，
设点的坐标为，那么点的坐标为，
，
又∵由直线与轴交于点，
∴点的坐标为，
，
解得（不合题意，舍去），，
∴点的坐标为；
（3）以点为顶点的四边形能成为平行四边形．
理由如下：
若，以点为顶点的四边形为平行四边形，
①当点在点上方，，得．（舍去），
②当点在下方，，得．
当；
当．
所以当点坐标为：或或．
【点评】本题是二次函数与几何的的一道综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，方程和方程组的解法等知识，关键是设点D的坐标后，可得点E的坐标，从而可把DE、DO表示出来，从而根据关系式列出方程，注意分类讨论．
8．（1），；（2）时，△CDA面积最大为；（3）存在，点坐标为，．
【分析】（1）把A（-3，0）代入可得关于m的一元一次方程，解方程可求出m的值，可得一次函数解析式，进而可求点C坐标，根据二次函数的对称轴可得点B坐标，利用待定系数法即可得抛物线解析式；
（2）如图，连接OD，由点P横坐标可得点D横坐标为n，可得点D坐标为（n，），根据S△CAD=S△AOD+S△COD-S△AOC，求出二次函数的最值即可得答案；
（3）设对称轴与x轴交于点F，作△ACB的外接圆⊙M，交x轴下方对称轴于E1，作E1关于x轴的对称点E2，根据圆周角定理可得∠ACB=∠AE1B，根据外心定义可得点M的横坐标，设M（-1，m），根据两点间距离公式可求出点M坐标，即可求出⊙M的半径，可求点E1坐标，根据轴对称性质可得AB垂直平分E1E2，可得四边形AE1BE2是菱形，根据菱形的性质可得∠AE1B=∠AE2B，可得∠AE2B=∠ACB，根据关于x轴对称的两个点的坐标特征即可得E2坐标，综上即可得答案．
【解析】（1）∵一次函数（为常数）的图象与轴交于，
∴，
解得：m=-2，
∴一次函数解析式为：y=，
当x=0时，y=-2，
∴点C坐标为（0，-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与轴正半轴交于点，
∴点B坐标为（1，0），
∵抛物线过点A、B、C，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，连接OD，
∵点P横坐标为n，过作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，
∴点D横坐标为n，
∵抛物线解析式为，
∴点D坐标为（n，），
∵为线段上的一个动点，
∴-3