2023年中考数学高频考点突破—反比例函数与一次函数附答案

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2023年中考数学高频考点突破—反比例函数与一次函数附答案
1．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（4，2），与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点C（0，1），PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

2．如图，矩形OABC中，OC＝4，OA＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）一次函数y＝ax﹣1的图象与y轴交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点E，且△ADE的面积为6，求一次函数的解析式；
（3）将线段OE沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为t，平移后的线段与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点F，与x轴交于点G，t为何值时，GF＝OE？

3．已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．

4．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象交于A(－4，n)，B(2，－4)两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出关于x的方程的解及不等式的解集．
5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形ABCD的DC边在x轴上，D点坐标为（﹣6，0）边AB、AD的长分别为3、8，E是BC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AD边交于点F．

（1）求k的值及经过A、E两点的一次函数的表达式；
（2）若x轴上有一点P，使PE+PF的值最小，试求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF、PE、PF，在直线AE上找一点Q，使得S△QEF＝S△PEF直接写出符合条件的Q点坐标．
6．如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.

（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
7．如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值．

9．如图，一次函数（）与反比例函数(m0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点．过点B作BD⊥x轴，垂足为D，若OB=5，OD=3，且点A的横坐标为-4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
（3）直接写出满足的x的取值范围 ．    

10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一，三象限内的两点，与轴交于点.点在轴负半轴上，四边形是平行四边形，点的坐标为.
（1）写出点的坐标，并求一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出关于的不等式的解集.

11．定义：点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，若存在点P与点Q关于原点对称，我们称二次函数为一次函数与反比例函数的“新时代函数”，点P称为“幸福点”．
（1）判断与是否存在“新时代函数”，如果存在，请求出“幸福点”坐标，如果不存在，请说明理由；
（2）若反比例函数与一次函数有两个“幸福点”，和，且，求其“新时代函数”的解析式；
（3）若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的情况下，其“新时代函数”的最小值为3，求m的值．
12．如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,且与x轴交于点C,点B的坐标为(-1,-2).

(1)求及的值；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)结合图象直接写出不等式组的解集.
13．设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式≤≤的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为. 对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当m≤≤n时，有m≤≤n，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”.
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式；
（3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，直接写出实数， 的值.
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标；
（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．

15．如图1,一次函数y=−2x+4的图象交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点C,连OC,若S△AOC=2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图3，点E， F分别是线段AB和线段OB上的动点，点E从点B出发，沿线段BA运动，点F从点O出发，沿线段OB运动，速度都是每秒1个单位长度．运动时间为t秒，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.是否存在某个时刻．使得△BEF是直角三角形？若存在，求出t的值若不存在，请说明理由：
（3）如图2，过点B作BM⊥OB交反比例函数y= (x>0)的图象于点M，点N为反比例函数 y= (x>0)的图象上一点，∠ABM =∠BAN，求直线AN的解析式，

16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点在第一象限，轴于点，轴于点．一次函数的图象分别交轴、轴于点、，且，，．

（1）求点的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式：
（3）根据图象写出当时，一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围．
17．如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点，若．

（1）写出点的坐标；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）当时，求的取值范围．
18．规定：若y表示一个函数，令M=|y|，我们则称函数M为函数y的“幸福函数”．
（1）请写出一次函数y=x﹣3的“幸福函数”M的解析式（解析式中不能含有绝对值）；
（2）若一次函数y=与反比例函数y=（k＞0）的“幸福函数”M有三个交点，从左至右依次为A，B，C三点，并且BC=，求点A的坐标；
（3）已知a、b为实数，二次函数y=x2+ax+b的“幸福函数”M，M=2恒有三个不等的实数根．
①求b的最小值；
②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

参考答案：
1．（1）y＝x+1；（2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
【分析】（1）由点P的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，由点C，P的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）由AC=BC，CO⊥AB结合点A的坐标可得出点B的坐标，连接DC与PB交于E，利用菱形的性质可得出CD的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标．
【解析】解：（1）将P（4，2）代入y＝，得：2＝，
解得：m＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
将C（0，1），P（4，2）代入y＝kx+b，得：
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
（2）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴AO＝BO＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．

假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，连接DC与PB交于E，如图所示．
∵四边形BCPD为菱形，
∴CE＝DE＝4，
∴CD＝8．
当x＝8时，y＝＝1，
∴点D的坐标为（8，1）．
∴反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数（或一次函数）的解析式；（2）利用菱形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标.．
2．（1）；（2）；（3）秒
【分析】（1）先确定出点B（4，3），再将点B的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，即可得出结论；
（2）先求出点D（0，﹣1），进而求出AD＝4，即可求出点E（3，4），将点E（3，4）代入y＝ax﹣1中，即可得出结论；
（3）先求出OM＝3，EM＝4，过点F作FN⊥x轴于N，
∴∠OME＝∠GNF＝90°，再构造出△OME∽△GNF，得出进而求出OM＝，EM＝4，即可求出点F（6，2），进而求出OG，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵在矩形OABC中，OC＝4，OA＝3，
∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝3，AB∥x轴，BC∥y轴，
∴B（4，3），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为
（2）针对于一次函数y＝ax﹣1，
令x＝0，
∴y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
∵OA＝3，
∴A（0，3），
∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵△ADE的面积为6，
∴×4xE＝6，
∴xE＝3，
由（1）知，反比例函数解析式为，
∴yE＝4，
∴E（3，4），
将点E（3，4）代入y＝ax﹣1中得，3a﹣1＝4，
∴a＝，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（3）如图，
由（2）知，E（3，4），
过点E作EM⊥x轴于M，
∴OM＝3，EM＝4，
过点F作FN⊥x轴于N，
∴∠OME＝∠GNF＝90°，
由平移知，FG∥OE，
∴∠EOM＝∠FGN，
∴△OME∽△GNF，
∴
∵GF＝OE，
∴OM＝2GN＝，EM＝2NF＝4，
∴NF＝2，
∴点F的纵坐标为2，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴F（6，2），
∴ON＝6，
∴OG＝ON﹣GN＝，
∴t＝÷1＝秒．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，平移的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．
3．（1）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【分析】（1）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【解析】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）∵点A的坐标为（1，4），
∴点C的坐标为（1，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D1的坐标为（0，﹣4）；
②当OA为对角线时，
解得：
∴点D2的坐标为（0，4）；
③当AC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．

【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.
4．（1） ，y＝－x－2；（2）C(－2，0)，AOB＝6；（3）x＝2 或 x＝－4 ；x＞2 或－4＜x＜0．
【分析】（1）将点B(2，－4)代入可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）令y=0代入一次函数解析式，即可确定C的坐标及OC的长度； S△AOB就是以OC为底，A，B两点纵坐标为高的两个三角形面积之和；（3）方程的解即为两函数图像交点的横坐标，不等式的解集，即为一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量的取值范围．
【解析】解：（1）把B（2，-4）代入，得：m=-8，
∴反比例函数的解析式为；
把A（-4，n）代入，得：n=2，
∴A（-4，2），
把A（-4，2）、B（2，-4）代入y=kx+b，
得： 解得：
∴一次函数的解析式为y=-x-2；
（2）在y=-x-2中，令y=0，则x=-5，所以C的坐标为（-2，0），|OC|=2
所以：S△AOB= S△AOC+ S△COB=|OC|×|2|+|OC|×|4|=×2×2+×2×4=6
（3）由y=-x-2和的交点坐标为A（-4，2）、B（2，-4）
则：如图：方程的解为x=2或者x=-4；
不等式的解集为；x＞2 或－4＜x＜0．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积以及运用图像解方程和不等式．掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
5．（1）k＝－12，y＝﹣x；（2）P（﹣5，0）；（3）Q（﹣，）或（﹣，）．
【分析】（1）先确定点B，C坐标，进而得出点E坐标，最后用待定系数法即可求出直线AE解析式；
（2）先找出点F关于x轴的对称点F′的坐标，进而求出直线EF′的解析式，进一步即可得出结论；
（3）先求出△PEF的面积，再求出直线EF的解析式，设出点Q的坐标，利用坐标系中求三角形面积的方法建立方程求解，进而得出结论．
【解析】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝8，
∵D（﹣6，0），
∴A（﹣6，8），C（﹣3，0），B（﹣3，8），
∵E是BC的中点，
∴E（﹣3，4），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
设经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝k′x+b，
∴，解得，
∴经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝﹣x；
（2）如图1，由（1）知，k＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵点F的横坐标为﹣6，∴点F的纵坐标为2，∴F（﹣6，2），
作点F关于x轴的对称点F′，则F′（﹣6，﹣2），
连接EF′交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，
∵E（﹣3，4），
∴直线EF′的解析式为y＝2x+10，
令y＝0，则2x+10＝0，解得x＝﹣5，
∴P（﹣5，0）；

（3）如图2，由（2）知，F′（﹣6，﹣2），
∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），
∴S△PEF＝S△EFF′﹣S△PFF′＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4，
∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），
∴直线EF的解析式为y＝x+6，
由（1）知，经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝﹣x，
设点Q（m，﹣m），
过点Q作y轴的平行线交EF于G，
∴G（m，m+6），
∴QG＝|﹣m﹣m﹣6|＝|2m+6|，
∵S△QEF＝S△PEF，
∴S△QEF＝|2m+6|×（﹣3+6）＝4，
∴m＝﹣或m＝﹣，
∴Q（﹣，）或（﹣，）．
      
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、利用轴对称求两线段和的最小值和坐标系中三角形面积的求解.第（1）小题是典型的用待定系数法求函数的解析式问题；第（2）小题的关键是作点F关于x轴的对称点F′，利用轴对称的性质求两线段和的最小值；第（3）小题是本题的难点，求解的关键是弄清坐标系中求三角形面积的常用方法——和差或割补思想，如本题中两种方法都有所体现.
6．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）根据点A的坐标以及三角形的面积公式即可求出a值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值；
（2）根据反比例函数解析式可求出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式，令线AM的解析式中y=0求出x值，即可得出点M的坐标，再利用勾股定理即可求出线段AM的长度；
（3）设点N的坐标为（m，n），由等边三角形的性质结合两点间的距离公式即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出n与m之间的关系，由此即可得出b值．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴把A点的坐标为，
代入得；
（2）∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
将，代入y=mx+n中，
得 ,解得： ,
∴直线AM解析式为：，
当时，，
∴，
在中，，，
∴；
（3）设点N的坐标为（m，n），
∵△AMN为等边三角形，且AM=，A(-1，)，M（2，0）,
∴，
解得：，
∵顶点N（m，n）在一次函数y=bx上，
∴b=.

【点评】本题考查了三角形的面积公式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点M的坐标；（3）根据等边三角形的性质找出关于m、n的二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质利用两点间的距离公式找出点的横纵坐标之间的关系是关键．
7．（1）8；（2）△ABC的面积不变，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．
【分析】（1）设点P（m，），Q（n，），根据P为OQ的中点，即可得出m、n之间的关系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面积不变，设A（a，）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．
【解析】解：（1）∵点P在反比例函数y＝（x＞0）上，点Q在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴设点P（m，），Q（n，），
∵点P为OQ的中点，
∴n＝2m，＝2•，
∴k＝8．
（2）△ABC的面积不变，
设A，则C，
令y＝中y＝，则x＝，
∴点B（，），
∴AB＝＝，AC＝﹣＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝．
（3）假设存在，设A，则C，B（，）．
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：
①以AB为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝（舍去），
此时点A（，）；
②以AC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
此时点A（，）；
③以BC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
此时点A（2，4）．
故直线y＝2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（，）、（，）或（2，4）.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：
（1）根据点P为OQ的中点找出m、n的关系；
（2）求出S△ABC为定值；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线找出点D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质——对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．
8．（1）, y＝﹣x﹣2．（2）C（﹣2，0）, S△AOB＝6；（3）x＜﹣4，0＜x＜2．
【分析】（1）把A（-4，n），B（2，-4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y＝，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
（3）一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时自变量的取值即为答案．
【解析】解：（1）∵B（2，﹣4）在上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为．
∵点A（﹣4，n）在上，
∴n＝2．
∴A（﹣4，2）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴．
解之得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×2+×2×4＝6．
（3）x＜﹣4，0＜x＜2．
【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和坐标轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
9．（1）；（2）1.5；（3）或
【分析】（1）先通过勾股定理计算出BD的长得到B坐标，代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式；再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式；
（2）有直线解析式求出点C的坐标，由此求出OC的长，然后用面积公式求出△AOC的面积；
（3）观察两个函数图象，找到直线位于双曲线上方的部分，由此得出相应的x的取值范围．
【解析】(1)在RtOBD中 OB=5，OD=3，
∴BD=4．
∴B(3，-4)．
∴反比例函数解析式为．
∵A的横坐标为-4．
∴A的纵坐标为3．
∴，
∴．
∴直线解析式为；
（2）中，当x＝0时y＝-1，
∴C的坐标是（0，-1），
∴OC＝1．
∴△AOC的面积＝．
（3）根据图象可得：或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会通过观察图象来比较函数值的大小．
10．（1）的坐标为，的坐标为，；（2）；（3）或．
【分析】（1）先确定出点C坐标，再用平行四边形的性质设出点B坐标，进而利用点B在反比例函数是，求出点B，最后代入直线解析式中，即可得出结论；
（2）先求出点A坐标，再用面积之和即可得出结论；
（3）直接根据图象，即可得出结论．
【解析】（1）当时，，
则的坐标为，∴，  
∵四边形是平行四边形，
∴，且轴，
∴，故可设，
∵在反比例函数的图象上，
∴，∴.即的坐标为.
把代入得，解得，
∴一次函数解析式为.
（2）连接OA，

点在直线上，∴．则，
∴ ；  
（3）当或时， ，     
∴不等式的解集为或．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出直线解析式是解本题的关键．
11．（1）存在“新时代函数”，幸福点坐标为，；（2）或；（3）或 .
【分析】（1）联立与得到关于x的一元二次方程，解方程可得，，根据 “新时代函数”定义，可得幸福点坐标为，；
（2）联立与得到关于x的一元二次方程，分解因式法解得，，代入中，可得，即可求得“新时代函数”解析式；
（3）一次函数和反比例函数的“新时代函数”为，其对称轴为，分，，和三种情况讨论即可.
【解析】双曲线是关于原点对称的，所以直线与双曲线的交点就是“幸福点”
（1）联立与得：，
解得：，，
存在“新时代函数”，幸福点坐标为，；
（2）联立与得：
，
，，
，
，
∴“新时代函数”的解析式：或；
（3）一次函数和反比例函数的“新时代函数”为，此二次函数图象开口向上，对称轴：，
当时，最小值为，
①若，即，当，
解得：，；
②若，即，
当，
解得：；
③若，即，当时，，
解得： ， （舍），
综上所述，或.
【点评】此题考查了新定义的理解、解一元二次方程以及二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解答此题的关键.
12．
【分析】（1）把B点坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式，可求得结果；（2）通过解方程组求出交点坐标，再求面积；（3）根据函数图象比较函数值大小即可做出判断.
【解析】（1）由题意可得：点B（-1，-2）在函数y=x+m的图象上，
∴-1+m=-2即m=-1；
∵B(-1,-2)在反比例函数y=的图象上，
∴=-2，
∴k=2；
（2）∵一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，
∴，
解得
，或，，
∴A（2，1），
令y=x-1中y=0，得x=1，
∴C（1，0）
∴
=，
∴△OAB的面积=1.5；
（3）由图象可知不等式组0