初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质第1课时教学设计及反思

第十二章 全等三角形

12.3  角的平分线的性质

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.

【过程与方法】

经历探索角的平分线的性质,提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精神.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.

【教学难点】

(1)根据角的平分仪器提炼出角的平分线的尺规画法；

(2)角的平分线的性质的探究. 

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、圆规、角平分仪、剪刀等。

学生：三角尺、直尺、圆规、剪刀。

六、教学过程

（一）导入新课

下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？（出示课件2）

（二）探索新知

1.师生互动，探究角平分线的性质

教师问1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？

学生回答：用量角器度量，也可用折纸的方法．（出示课件4）

教师问2：对这种可以折叠的角能用折叠的方法找到其平分线，对不能折叠的角怎样得到其平分线？如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？

学生回答：这样的不能用折叠的方法.

教师问3：有一个简易平分角的仪器(如图)，其中AB＝AD，BC＝DC，将A点放在角的顶点，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？（出示课件6）

学生讨论并回答：其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
教师让学生小组内完成证明并且重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明射线AE是∠BAD的平分线.

教师问4：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？（出示课件7）

学生讨论并回答：可以利用尺规作图.

请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
教师提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
教师问5：从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法.已知什么？求作什么？

学生回答：如图1，已知∠AOB，用尺规作图的方法作出∠AOB的角平分线OC，写出作法. （出示课件8）

图1

师生共同解答如下：

作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于   MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.

教师问6：半径小于MN或等于MN，可以吗？同学们动手作图试一试。
    学生作图并且感受后回答：不可以，那样两条弧没有交点，作不出图.

图2

教师问7：(1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P，过点P分别作OA，OB的垂线交OA，OB于点D(如图2)，PE，PD的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离.量出它们的长度，你发现了什么？

学生测量并回答：它们的长度相等。

教师讲解：只取一点不好说明问题，我们可以多取几点，然后操作回答.

学生操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：

教师问8：你能归纳角的平分线的性质吗？

学生作图测量后回答：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（出示课件10）

教师问9：我们只是作图得出的结论，需要加以证明，如何证明呢？

师生共同解答如下：

已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.

证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，

∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，

∠PDO= ∠PEO，

∠AOC= ∠BOC，

OP= OP，

∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
总结点拨：（出示课件12）

一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
由此我们可以得到结论：（出示课件13）

角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.

定理的作用：证明线段相等.

应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA， PE⊥OB，

∴PD = PE

警示：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.

例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.（出示课件16）

师生共同解答如下：

证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，

DE=DF，

BD=CD，

∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).

∴ EB=FC.

例2：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.（出示课件18）

师生共同解答如下：

分析：存在两条垂线段——直接应用.
解析：∵AM是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，

∴PD=PE,

∵PD=4cm，

∴PE=4cm.

故答案为4.

总结点拨：（出示课件20）

1.应用角平分线性质：

存在角平分线       

条件

涉及距离问题

2.联系角平分线性质：

面积     

利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
周长

（三）课堂练习（出示课件22-27）

1.  如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= ______度，BE= ________ .

2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是________ .

3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（      ）
    A.SSS          
    B.ASA  
    C.AAS   
    D.角平分线上的点到角两边的距离相等

4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　)
    A.PC＝PD                             B. OC＝OD 
    C. ∠CPO＝∠DPO              D. OC＝PC

5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)

A．6      B．5          C．4          D．3

6. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.

7. 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.  求证：CE＝CF.

8. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.

参考答案：

1. 60     BF 

2.3

3.A

4.D

5.D

6. 解：(1)DC=DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.

（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
   ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
   ∴BE＝BC=8.
   ∴ AE＝AB–BE=2.
   ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
7. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，


∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
8. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

角平分线的性质(1)

1.用尺规作角的平分线：

2.验证猜想：PD＝PE

3.角平分线的性质

（五）课前预习

预习下节课（12.3）教材50页的相关内容。

知道三角形的平分线判定定理

七、课后作业

1、教材50页练习1和教材51页习题12.3第2题

2、直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址共有(　　)

A.一处 B.两处 

C.三处 D.四处

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本课题设计思路按照操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想.

2.尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成.