2021年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷（含答案），共24页。
2021年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）在2020年新冠疫情期间，约42600人支援湖北，其中42600用科学记数法表示为（　　）
A．4.26×103 B．4.26×104 C．42.6×103 D．0.426×105
3．（3分）如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．x8÷x2＝x6 C．×＝ D．（a5）2＝a7
5．（3分）某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88，90，75，88，90，91，92，100，80，88则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．88，90 B．3，90.5 C．90，89 D．88，89
6．（3分）在四边形ABCD是菱形，其中AB＝4cm，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
7．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
8．（3分）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作交BC于E，然后以C为圆心，CE为半径作交CD于F，若AD＝5，FD＝3，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．3π C．π D．12π
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3x2﹣12y2＝　 　．
12．（4分）七边形的内角和是　 　．
13．（4分）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是 　 　．
14．（4分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝30°，则∠1的度数为 　 　．

15．（4分）如图，AB＝AC＝AD，若AD∥BC，∠C＝70°，则∠D＝　 　度．

16．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tanB的值为 　 　．

17．（4分）如图，已知AC＝2AO＝8，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若∠APB＝60°且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：|﹣2|﹣tan30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．
19．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
20．（7分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

21．（7分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　 　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　 　%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　 　人喜欢篮球项目．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
22．（8分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝　 　度，∠ADC＝　 　度；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．

23．（8分）新华商场销售某种电子产品，每个进货价为40元，调查发现，当销售价格为60元时，平均每天能销售100个；当销售价每降价1元时，平均每天多售出10个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每天达到2240元．
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，点O在∠MPN的平分线上，⊙O与PO相交于点C．与PO的延长线相交于点D，与PM相切于点A．
（1）求证：直线PN是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PC＝2，求⊙O的半径；
（3）点G是劣弧AC上一点，过点G作⊙O的切线分别交PM，PN于点E，F，若△PEF的周长是⊙O半径的3倍，求tan∠EPF的值．

25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值．


2021年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣的倒数是﹣3．
故选：C．
2． 解：42600＝4.26×104．
故选：B．
3． 解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．

故选：A．
4． 解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．
B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．
C、原式＝＝，计算错误，故本选项不符合题意．
D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
5． 解：从小到大排列此数据为：75，80，88，88，88，90，90，91，92，100，数据88出现了三次最多为众数，88，90处在第5位和第6位，所以本题这组数据的中位数是＝89，
故选：D．
6． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝16（cm），
故选：D．
7． 解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
8． 解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0，
解得a＜．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
9． 解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，
解得m＝2，即P点坐标为（2，4），
所以二元一次方程组的解为．
故选：B．
10． 解：设BE＝a，CE＝b，
根据题意可得，
，
解得：，
∴BE＝4，CE＝1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇ABE＝＝＝，
S扇ECF＝＝＝，
S阴＝S扇ABE+S扇ECF＝3π．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：3x2﹣12y2
＝3（x2﹣4y2）
＝3（x﹣2y）（x+2y），
故答案为：3（x﹣2y）（x+2y）．
12． 解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）＝900°．
故答案为：900°．
13． 解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
14． 解：如图：

∵∠ACB＝90°，∠2＝30°，
∴∠3＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝60°．
故答案为：60°．
15． 解：∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠BAD＝110°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝35°，
故答案为35°．
16． 解：如图，连接格点A、D．
在Rt△ABD中，
∵AD＝3，BD＝4，
∴tanB＝；
故答案为：．

17． 解：如图所示，延长PB到D使得PB＝DB，

∵，
∴AP＝PD＝2PB，
又∵∠APB＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∵B为PD的中点，
∴AB⊥DP，即∠ABP＝90°，
∴∠BAP＝30°，
以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO＝30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
∴，
同理可得，
∵∠OAM＝30°＝∠PAB，
∴∠BAM＝∠PAO，
又∵，
∴△AMB∽△AOP，
∴，
∵点P到点O的距离为2，即OP＝2，
∴，
∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上，
连接CM交圆M（半径为）于B'，
∴当M、B、C三点共线时，即点B在点B'的位置时，BC有最小值，
∵AC＝2AO＝8，
∴AO＝4，
∴，
∴AH＝AM⋅cos∠MAH＝3，，
∴CH＝5，
∴，
∴，
∴BC的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝2﹣﹣1+4
＝5﹣．
19． 解：∵x＝﹣2，
∴﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝2．
20． 解：（1）如图所示，直线EF即为所求；


（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
21． 解：（1）调查的总人数为20÷40%＝50（人），
所以喜欢篮球项目的同学的人数＝50﹣20﹣10﹣15＝5（人）；
“乒乓球”的百分比＝×100%＝20%，
因为800××100%＝80，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
故答案为5，20，80；
（2）如图，

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率＝＝．
22． 解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，
∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．
过点A作AE⊥CD于点E．

则∠DAE＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故答案为：75；60．
（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，
tan30°＝，
解得DE＝，
∴CD＝DE+EC＝（+10）米．
∴楼CD的高度为（+10）米．
（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，

则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，
∵MN∥AE，
∴∠PAF＝∠MPA＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠PAF＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠30°，
∴∠PAD＝30°，
∵∠APD＝75°，
∴∠ADP＝75°，
∴∠ADP＝∠APD，
则AP＝AD，
∴△APF≌△DAE（AAS），
∴PF＝AE＝100米，
∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．
∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．
23． 解：（1）设每个电子产品的价格应该降价x元，由题意得：
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6
∴每个电子产品的价格应该降价4元或6元．
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，
该商场应该将该电子产品可以降价6元销售：
（60﹣6）÷60＝0.9
∴该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售．
（3）设定价为x元，商场每天销售该电子产品的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣40）[100+（60﹣x）×10]
＝（x﹣40）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∵二次项系数为﹣10＜0
∴当x＝55时，w有最大值，最大值为2250元．
24． （1）证明：如图1，连接OA，过O作OB⊥PN于B，

∵⊙O与PM相切于点A，
∴OA⊥PM，
∵点O在∠MPN的平分线上，
∴OB＝OA，
∴直线PN是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径是x，
则（x+2）2＝x2+42，
解得：x＝3，
所以⊙O的半径为3；
（3）解：如图2，延长BO交PM于点H，
设⊙O的半径为r，

∵PA，PB，EF是⊙O的切线，
∴BF＝FG，AE＝EG，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+EF+PE
＝PF+BF+PE+AE
＝PA+PB
＝2PA＝3r，
∴＝，
设PA＝3a，r＝2a，
∵∠PBH＝∠OAH＝90°，
∴∠BPH+∠BHP＝∠OHA+∠AOH，
∴∠AOH＝∠BPH，
∴tan∠AOH＝tan∠EPF，
∴＝，即＝，
∴OH＝，
∵OH2＝OA2+AH2，
∴（）2＝（2a）2+AH2，
∴5AH2＝24AH•a，
∴AH＝a，
∴tan∠EPF＝tan∠AOH＝＝＝．
25． 解：（1）∵点A（2，0），在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解法一：
如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，
∴∠DPE＝90°，∠DFP＝∠PGE＝90°，
又∵∠PDC＝45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，PE＝PD，
设点P坐标为（0，m），
∵点D坐标为，
∴，PF＝3，
∵DF⊥PF，EG⊥PG，
又∵∠DPE＝90°
∴∠FDP+∠DPF＝90°，∠EPG+∠DPF＝90°
∴∠FDP＝∠EPG，
在△DFP和△PGE中，
，
∴△DFP≌△PGE（AAS），
∴，EG＝PF＝3，
∴，
∵C为抛物线与y轴交点，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
又∵点D坐标为，
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴点P的坐标为．
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，

∴△CDF为等腰直角三角形，CD＝CF，∠CDF＝45°，
∴DF与y轴的交点即为P点，
作DG⊥y轴于G，作FH⊥y轴于H，
∴∠DGC＝∠CHF＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCG+∠HCF＝90°，
∴∠CDG＝∠HCF．
在△CDG和△FCH中，
，
∴△CDG≌△FCH（AAS），
∴GC＝HF，DG＝CH，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为，
∴DG＝3，，
∴，CH＝DG＝3，
∴OH＝4﹣3＝1，
∴F坐标为，
设直线CF的表达式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：，，
∴直线CF的表达式为，
当x＝0时，，
∴点P的坐标为．
解法三：
过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，

∴∠PEC＝∠DFC＝90°，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为（﹣3，），
∴，
∴DF＝3，，
∴，
∵∠DFC＝∠PEC＝90°，
又∵∠FCD＝∠ECP，
∴△DCF∽△PCE，
∴，
∴，
∴PE＝2CE．
∵PE⊥CD，∠PDC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDC＝45°，
∴PE＝DE，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解法一：
过点N作NH∥y轴，交直线AD于点H，则∠HNO＝∠QOM，

又∵∠NMH＝∠OMQ，
∴△MNH∽△MOQ，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
当x＝0时，y＝1，
∴直线AD与y轴的交点坐标为Q（0，1），
∴OQ＝1，
设，
∴N的坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．
解法二：
过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA＝∠QAB，

又∵∠NMQ＝∠OMA，
∴△MNQ∽△MOA，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
设点N坐标为，
∴点Q坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴NQ＝t﹣（t2+2t﹣6）＝﹣t2﹣t+6，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．





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