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    2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题28二次函数与角压轴问题(教师版)

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    2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题28二次函数与角压轴问题(教师版)

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    这是一份2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题28二次函数与角压轴问题(教师版),共125页。
    专题28二次函数与角压轴问题
    经典例题



    【例1】(2022·山东菏泽·统考中考真题)如图,抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点,连接AC、BC.

    (1)求抛物线的表达式;
    (2)将沿AC所在直线折叠,得到,点B的对应点为D,直接写出点D的坐标.并求出四边形OADC的面积;
    (3)点P是抛物线上的一动点,当时,求点P的坐标.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)或

    【分析】(1)直接利用待定系数法求抛物线解析式即可;
    (2)先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形,再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线,继而通过证明,利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标,根据四边形OADC的面积进行求解即可;
    (3)分两种情况讨论:当点P在x轴上方时,当点P在x轴下方时,分别求解即可.
    【详解】(1)将,,代入抛物线,得
    ,解得,
    所以,抛物线的表达式为;
    (2)如图,过点D作DE⊥x轴于E,


    ∵,,,


    为直角三角形且,
    将沿AC所在直线折叠,得到,点B的对应点为D,
    此时,点B、C、D三点共线,BC=DC,,





    ∴四边形OADC的面积

    (3)
    当点P在x轴上方时,
    ∵,
    ∴轴,
    点P的纵坐标为4,即,
    解得或0(舍去)

    当点P在x轴下方时,设直线CP交x轴于F,
    ∵,
    ∴,
    设,则,
    在中,由勾股定理得,
    即,
    解得,


    ∴设直线CF的解析式为,
    即,解得,
    ∴直线CF的解析式为,
    令,解得或0(舍去),
    当时,

    综上,或.
    【点睛】本题考查了二次函数的综合题目,涉及待定系数法求二次函数解析式,勾股定理的逆定理,折叠的性质,相似三角形的判定和性质,求一次函数的解析式,等腰三角形的性质等知识,熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键.
    【例2】(2022·江苏苏州·统考中考真题)如图,在二次函数(m是常数,且)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD.

    (1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求的度数;
    (2)若,求m的值;
    (3)若在第四象限内二次函数(m是常数,且)的图像上,始终存在一点P,使得,请结合函数的图像,直接写出m的取值范围.
    【答案】(1)A(-1,0);B(2m+1,0);C(0,2m+1);
    (2)
    (3)

    【分析】(1)分别令等于0,即可求得的坐标,根据,即可求得;
    (2)方法一:如图1,连接AE.由解析式分别求得,,.根据轴对称的性质,可得,由,建立方程,解方程即可求解.方法二:如图2,过点D作交BC于点H.由方法一,得,.证明,根据相似三角形的性质建立方程,解方程即可求解;
    (3)设PC与x轴交于点Q,当P在第四象限时,点Q总在点B的左侧,此时,即.
    【详解】(1)当时,.
    解方程,得,.
    ∵点A在点B的左侧,且,
    ∴,.
    当时,.
    ∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    (2)方法一:如图1,连接AE.
    ∵,
    ∴,.
    ∴,,.
    ∵点A,点B关于对称轴对称,
    ∴.
    ∴.
    ∴.
    ∵,,
    ∴,
    即.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴解方程,得.

    方法二:如图2,过点D作交BC于点H.
    由方法一,得,.
    ∴.
    ∵,
    ∴,

    ∴.
    ∵,,
    ∴.
    ∴.
    ∴,即.
    ∵,
    ∴解方程,得.

    (3).
    设PC与x轴交于点Q,当P在第四象限时,点Q总在点B的左侧,此时,即.
    ∵,
    ∴.


    ∴.
    解得,
    又,
    ∴.

    【点睛】本题考查了二次函数综合,求二次函数与坐标轴的交点,角度问题,解直角三角形,相似三角形的性质,三角形内角和定理,综合运用以上知识是解题的关键.
    【例3】(2022·天津·统考二模)已知抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为D,且过C(-4,m).
    (1)求点A,B,C,D的坐标;
    (2)点P在该抛物线上(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.
    ①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值,
    ②连接BD,当∠PCB=∠CBD时,求点P的坐标.
    【答案】(1)A(-5,0),B(-1,0);C(-4,-3);D(-3,-4)
    (2)①;②(0,5)或(,)

    【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D的坐标,令y=0,求出x的值即可得到A、B的坐标,把x=-4代入抛物线解析式求出y即可求出点C的坐标;
    (2)①先求出直线BC的解析式为,过点P作PE⊥x轴于E交BC于F,则点P的坐标为(t,),点F的坐标为(t,t+1),,再根据 ,进行求解即可;②分如图1所示,当点P在直线BC上方时,如图2所示,当点P在直线BC下方时,两种情况讨论求解即可.
    (1)
    解:∵抛物线解析式为,
    ∴抛物线顶点D的坐标为(-3,-4);
    令y=0,则,
    解得或,
    ∵抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),
    ∴点A的坐标为(-5,0),点B的坐标为(-1,0);
    令,则,
    ∴点C的坐标为(-4,-3);
    (2)
    解:①设直线BC的解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴直线BC的解析式为,
    过点P作PE⊥x轴于E交BC于F,
    ∵点P的横坐标为t,
    ∴点P的坐标为(t,),点F的坐标为(t,t+1),
    ∴,





    ∴当时,△PBC的面积最大,最大为;

    ②如图1所示,当点P在直线BC上方时,
    ∵∠PCB=∠CBD,
    ∴,
    设直线BD的解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴直线BD的解析式为,
    ∴可设直线PC的解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴直线PC的解析式为,
    联立得,
    解得或(舍去),
    ∴,
    ∴点P的坐标为(0,5);

    如图2所示,当点P在直线BC下方时,设BD与PC交于点M,
    ∵点C坐标为(-4,-3),点B坐标为(-1,0),点D坐标为(-3,-4),
    ∴,,,
    ∴,
    ∴∠BCD=90°,
    ∴∠BCM+∠DCM=90°,∠CBD+∠CDB=90°,
    ∵∠CBD=∠PCB,
    ∴MC=MB,∠MCD=∠MDC,
    ∴MC=MD,
    ∴MD=MB,
    ∴M为BD的中点,
    ∴点M的坐标为(-2,-2),
    设直线CP的解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴直线CP的解析式为,
    联立得,
    解得或(舍去),
    ∴,
    ∴点P的坐标为(,);
    综上所述,当∠PCB=∠CBD时,点P的坐标为(0,5)或(,);

    【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
    【例4】(2022·四川达州·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点,,与y轴交于点C.

    (1)求该二次函数的表达式;
    (2)连接,在该二次函数图象上是否存在点P,使?若存在,请求出点P的坐标:若不存在,请说明理由;
    (3)如图2,直线l为该二次函数图象的对称轴,交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点,过点Q作直线,分别交直线l于点M,N,在点Q的运动过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)或
    (3)

    【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;
    (2)根据题意,分情况讨论,①过点作关于的对称点,即可求P的坐标,②轴上取一点,使得,则,设,根据勾股定理求得,建列方程,解方程求解即可;
    (3)设,,过点作轴于点,则,证明,根据相似三角形的性质列出比例式求得,即可求解.
    【详解】(1)解:∵由二次函数,令,则,

    过点,,
    设二次函数的表达式为 ,
    将点代入得,

    解得,

    (2)二次函数的图象经过点,,
    抛物线的对称轴为,
    ①如图,过点作关于的对称点,




    ②轴上取一点,使得,则,设,
    则,

    解得,
    即,
    设直线CD的解析式为,

    解得,
    直线CD的解析式为,
    联立,
    解得或,

    综上所述,或,

    (3)的值是定值,
    设,,
    过点作轴于点,则,






    即,
    ,,





    即的值是定值
    【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法求解析式,角度问题,相似三角形的性质与判定,掌握二次函数的性质是解题的关键.
    【例5】.(2022·湖北黄石·统考中考真题)如图,抛物线与坐标轴分别交于A,B,C三点,P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.

    (1)A,B,C三点的坐标为____________,____________,____________;
    (2)连接,交线段于点D,
    ①当与x轴平行时,求的值;
    ②当与x轴不平行时,求的最大值;
    (3)连接,是否存在点P,使得,若存在,求m的值,若不存在,请说明理由.
    【答案】(1);;
    (2)①;②
    (3)存在点P,

    【分析】(1)令x=0,则y=4,令y=0,则=0,所以x=-2或x=3,由此可得结论;
    (2)①由题意可知,P(1,4),所以CP=1,AB=5,由平行线分线段成比例可知,.
    ②过点P作PQ∥AB交BC于点Q,所以直线BC的解析式为:y=-x+4.设点P的横坐标为m,则P(m,-),Q(,-).所以PQ=m-()=-,因为PQ∥AB,所以=,由二次函数的性质可得结论;
    (3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°,即0<m<3.过点C作CFx轴交抛物线于点F,由∠BCO+2∠PCB=90°,可知CP平分∠BCF,延长CP交x轴于点M,易证△CBM为等腰三角形,所以M(8,0),所以直线CM的解析式为:y=-x+4,令=-x+4,可得结论.
    【详解】(1)解:令x=0,则y=4,
    ∴C(0,4);
    令y=0,则=0,
    ∴x=-2或x=3,
    ∴A(-2,0),B(3,0).
    故答案为:(-2,0);(3,0);(0,4).
    (2)解:①∵轴,,
    ∴,,
    又∵轴,
    ∴△CPD∽△BAD
    ∴;
    ②过P作交于点Q,

    设直线BC的解析式为,
    把B(3,0),C(0,4)代入,得
    ,解得,
    ∴直线的解析式为,
    设,则,
    ∴,
    ∵,
    ∴△QPD∽△BAD
    ∴,
    ∴当时,取最大值;
    (3)解:假设存在点P使得,即,
    过C作轴,连接CP,延长交x轴于点M,
    ∴∠FCP=∠BMC,

    ∵,
    ∴平分,
    ∴∠BCP=∠FCP,
    ∴∠BCP=∠BMC,
    ∴BC=BM,
    ∴为等腰三角形,
    ∵,
    ∴,,,
    设直线CM解析式为y=kx+b,
    把C(0,4),代入,得
    ,解得:,
    ∴直线的解析式为,
    联立,
    解得或(舍),
    ∴存在点P满足题意,即.
    【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,平行线分线段成比例,角度的存在性等相关内容,解本题的关键是求抛物线解析式,确定点P的坐标.

    培优训练


    一、解答题
    1.(2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,以的边和边上高所在直线建立平面直角坐标系,已知,,,抛物线经过A,B,C三点.

    (1)求抛物线解析式.
    (2)点G是x轴上一动点,过点G作轴交抛物线于点H,抛物线上有一点Q,若以C,G,Q,H为顶点的四边形为平行四边形,求点G的坐标.
    (3)点P是抛物线上的一点,当时,求点P的坐标.
    【答案】(1)
    (2)G的坐标为或
    (3)当时,点P的坐标为(4,5)或

    【分析】(1)先求出,再根据正切的定义得到,结合求出,,再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可;
    (2)先证明只存在以为对角线的平行四边形,设,,则,根据平移的特点建立方程进行求解即可;
    (3)先求出,,如图②,作,过点B作交于点,过点作轴于点M,可得为等腰直角三角形,,再由,得到,则点的坐标为,求出直线的解析式为,联立,可得的坐标为.如图②,延长至,使得,连接交抛物线于点,过点作轴于点N,则,求出直线的解析式为,联立,可得点的坐标为.
    【详解】(1)解:∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    由,
    可得,
    解得或(舍去),
    ∴,,
    将,,代入可得,
    解得,
    ∴抛物线解析式为.
    (2)解:如图①,∵轴,点Q在抛物线上,
    ∴以为边的平行四边形不存在,只存在以为对角线的平行四边形,
    设,,则,
    由点的平移可得,消元整理可得,解得,,
    ∴点G的坐标为或.

    (3)解:∵,
    ∴,,
    如图②,作,过点B作交于点,过点作轴于点M,
    ∴,
    ∴为等腰直角三角形,,
    ∵,
    ∴,,
    ∴,
    ∴点的坐标为,
    由,可得直线的解析式为,
    联立,
    解得(舍去),,
    ∴的坐标为.
    如图②,延长至,使得,连接交抛物线于点,过点作轴于点N,
    ∴,
    由,可得直线的解析式为,
    联立,
    解得(舍去),,
    ∴点的坐标为.
    综上可得当时,点P的坐标为或.

    【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,平行四边形的性质,等腰直角三角形的性质与判断,解直角三角形等等,灵活运用所学知识并利用数形结合的思想求解是解题的关键.
    2.(2022·山东日照·校考一模)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图2,是抛物线轴下方的抛物线上一点,连接、、,若的面积是面积的3倍,求点的坐标
    (3)如图3,连接、,在抛物线上是否存在点(不与点重合),使得?若存在求出点的横坐标,若不存在说明理由
    【答案】(1);
    (2)
    (3)抛物线上存在一点N,使得,点N的坐标是

    【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
    (2)先用待定系数法求出直线的解析式为,设点M的坐标是,过点M作直线轴交于点N,则点P的是,求出,得到,,根据的面积是面积的3倍,列方程求得m的值,即可求得点M的坐标;
    (3)抛物线上存在一点N,使得,过点B作交于点E,则,证明得到,求出点E的坐标是,待定系数法求出直线的解析式,联立直线的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标.
    【详解】(1)解:把,代入得,

    解得,
    ∴抛物线的解析式为;
    (2)如图,

    对于,
    当时,,
    ∴点C的坐标为,
    设直线的解析式为,代入,得,
    ,解得,
    ∴直线的解析式为,
    设点M的坐标是,过点M作直线轴交于点N,
    则点P的是,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,,,
    ∵的面积是面积的3倍,
    ∴,
    解得(不合题意,舍去)或,
    当时,,
    ∴点M的坐标是;
    (3)抛物线上存在一点N,使得,过点B作交于点E,则,

    ∵,,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴点E的坐标是,
    设直线的解析式为,代入,得,
    ,解得,
    ∴直线的解析式为,
    联立与得,

    解得或(不合题意,舍去),
    ∴抛物线上存在一点N,使得,点N的坐标是.
    【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质等知识,关键是添加合适的辅助线解决问题.
    3.(2021·贵州遵义·校考模拟预测)如图,直线与轴、轴分别交于B、C两点,抛物线经过点B、C的,与轴另一交点为A,顶点为D.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在抛物线对称轴是否存在一点E,使得是等腰三角形,若存在,求出E的点坐标,若不存在,请说明理由;
    (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)或或或或
    (3)或

    【分析】(1)先求出B、C坐标,然后把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可;
    (2)设点E的坐标为,则,,,再分三种情况:当,当,当讨论求解即可;
    (3)如图所示,当点P在x轴上方时,过点B作于F,先证明是等腰直角三角形,则可设,则,进而得到,求出得到点P的坐标,利用对称性求出点P在x轴下方时的坐标即可得到答案.
    【详解】(1)解:∵直线与轴、轴分别交于B、C两点,
    ∴,
    把代入抛物线解析式中得:

    ∴,
    ∴抛物线解析式为;
    (2)解:∵抛物线解析式为,
    ∴抛物线对称轴为直线,
    设点E的坐标为,
    ∴,,,
    当时,则,
    解得,
    ∴点E的坐标为或;
    当时,则,
    解得或,
    ∴点E的坐标为或;
    当时,则,
    解得,
    ∴点E的坐标为;
    综上所述,点E的坐标为或或或或;
    (3)解:如图所示,当点P在x轴上方时,过点B作于F,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴可设,则,
    ∴,
    由对称性可知,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    ∴由对称性可知当点P在x轴下方时,点P的坐标为;
    综上所述,点P的坐标为或

    【点睛】本题主要考查了二次函数综合,待定系数法求函数解析式,勾股定理,等腰三角形的定义,等腰直角三角形的性质与判定等等,熟知相关知识是解题的关键.
    4.(2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模)已知二次函数()的图象经过A(1,0)、B(−3,0)两点,顶点为点C.

    (1)求二次函数的解析式;
    (2)如二次函数的图象与y轴交于点G,抛物线上是否存在点Q,使得∠QAB=∠ABG,若存在求出Q点坐标,若不存在请说明理由;
    (3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数图象的另一交点为D,DE⊥AC,垂足为E,DFy轴交直线AC于点F,点M是线段BC之间一动点,FN⊥FM交直线BD于点N,延长MF与线段DE的延长线交于点H,点P为△NFH的外心,求点M从点B运动到点C的过程中,P点经过的路线长.
    【答案】(1)
    (2)或
    (3)

    【分析】(1)将A(1,0)、B(-3,0)代入,即可求解;
    (2)先求出BG的解析式为,然后再进行分类讨论,分别求得点Q的坐标即可;
    (3)可知△DNH与△FNH是直角三角形,外心P在斜边NH的中点,分别求出直线AC及直线BD的函数关系式,再分为当M运动到C点时及当点M运动到B点时两种情况进行讨论,求解即可.
    【详解】(1)∵二次函数的图像经过A(1,0)、B(-3,0),
    ∴,
    解得,
    ∴二次函数的解析式为;
    (2)由题可知G点坐标,
    设直线BG的解析式为,得:
    ,解得:,
    ∴BG的解析式为,
    ①AQBG,直线AQ的解析式,
    联立直线AQ与二次函数解析式 ,
    解得或  
    此时Q的坐标为,
    ②直线与y轴的交点为K,其关于x轴的对称点为
    直线的解析式为: 与二次函数解析式联立得

    解得或,
    此时Q的坐标为,
    综上,抛物线上存在点Q使得∠QAB=∠BAG,Q点坐标为或
    (3)如图,易知△DNH与△FNH是直角三角形,外心P在斜边NH的中点,

    ∴PD=PF=NH,所以点P是线段DF的垂直平分线上的动点,
    ∵直线AC的解析式为y=x-1,BDAC,
    ∴直线BD的解析式为y=x+3,
    ∴D(3,6),
    ①当M运动到C点时与点E重合,,则,又因为∠DEF=90°,DE=EF,
    ∴四边形为正方形,
    ∴是线段DF的中点(3,4);
    ②当点M运动到B点时,,
    ∵四边形DN1FE是正方形
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵四边形DN1FE是正方形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    同理,
    所以的中点(4,4),
    ∵,

    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,会用待定系数法求函数的解析式,会求函数的交点坐标,根据点M的运动情况确定P点的轨迹是线段是解题的关键.
    5.(2022·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模)如图,抛物线交x轴于两点,交y轴于点C.

    (1)求抛物线的解析式和对称轴.
    (2)若R为抛物线上一点,满足,求R的坐标.
    (3)若点P在抛物线的对称轴上,点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点P    使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
    【答案】(1),对称轴为直线
    (2)(4,-5)
    (3)存在,(4,1)或(-2,1)或或

    【分析】(1)利用待定系数解答,即可求解;
    (2)过点B作BM⊥BC交CR于点M,过点M作ME⊥x轴于点E,证明△BOC≌△MBE,可得点E(2,-1),然后求出直线CR的解析式,再与抛物线解析式联立,即可求解;
    (3)设,点Q(m,n),分两种情况讨论:然后分两种情况讨论:当AC为边时,当AC为对角线时,即可求解.
    【详解】(1)解:∵抛物线交x轴于,两点,
    ∴,
    解得:,
    ∴该抛物线的解析式为,
    ∴对称轴为直线;
    (2)解:当x=0时,,
    ∴OC=3,
    ∵点B(-1,0),
    ∴OB=1,
    如图,过点B作BM⊥BC交CR于点M,过点M作ME⊥x轴于点E,

    ∵∠BCR=45°,
    ∴△BCM为等腰直角三角形,∠CBO+∠EBM=90°,
    ∴BM=BC,
    ∵∠EBM+∠BME=90°,
    ∴∠CBO=∠BME,
    ∵∠BEM=∠BOC=90°,
    ∴△BOC≌△MBE,
    ∴EM=BO=1,BE=OC=3,
    ∴OE=2,
    ∴点E(2,-1),
    设直线CR的解析式为
    把点C(0,3),M(2,-1)代入得:
    ,解得:,
    ∴直线CR的解析式为,
    联立得:,解得: 0 或(舍去),
    ∴点R(4,-5);
    (3)解:存在.
    设,点Q(m,n),
    当以AC为边时,点C向点P(或点Q)平移的方向和距离与点A向点Q(或点P)平移的方向和距离相同,且AP=CQ(或AQ=CP),

    ∴或,
    解得: 或,
    ∴此时点Q的坐标为(4,1)或(-2,1)
    如图,当AC为对角线时,AC=PQ,且PQ与AC的中点重合,如图,
    PQ=AC,

    ∴,解得:或,
    ∴此时点Q的坐标为或;
    综上所述,点Q的坐标为(4,1)或(-2,1)或或
    【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题,一次函数的图像和性质,矩形的性质,熟练掌握二次函数的综合题,一次函数的图像和性质,矩形的性质,利用数形结合思想解答是解题的关键,是中考的压轴题.
    6.(2021·辽宁盘锦·统考二模)如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线经过A,B两点与x轴相交于点C点.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P在抛物线上,连接PB,当∠PBC+∠OBA=45°时,求点P的坐标;
    (3)点M为抛物线上任意一点,当时,请直接写出点M的坐标.
    【答案】(1)
    (2)和
    (3),

    【分析】(1)先确定A、B两点的坐标,然后再运用待定系数法即可解答;
    (2)先说明△OBC是等腰直角三角形,然后再分点P在x轴上方和下方两种情况解答即可;
    (3)求得4,设点M的坐标为(m,n},再利用待定系数法求得直线AM的解析式,根据三角形面积公式列得方程求解即可.
    (1)
    解:∵y=2x+4
    ∴当y=0时,x=-2;当x=0时,y=4
    ∴A(-2,0),B(0,4)
    将A(-2,0),B(0,4)代入y=ax2+x+c得
    ,解得
    ∴ 抛物线的解析式为:.
    (2)
    解:∵
    ∴x1=-2,x2=4
    ∴C(4,0)
    ∴OB=OC
    ∴△OBC是等腰直角三角形
    ①当点P在x轴下方时,设直线BP与x轴交于点D
    ∵ ∠PBC+∠OBD=∠OBC=45°
    ∠PBC+∠OBA=45°
    ∴ ∠OBD=∠OBA
    ∴ 点A,D关于y 轴对称
    ∴ D(2,0)
    由B(0,4),D(2,0)可求直线BP解析式为:
       

    ②当点P在x轴上方时,设直线BP与x轴交于点E
    ∵ ∠OBC=45°,∠PBC+∠OBA=45°
    ∴ ∠PBA=90°
    可证△OAB∽△OBE

    ∴ OE=8
    ∴ E(8,0)
    由B(0,4),E(8,0)可求直线BP解析式为:


    综上,点的坐标为和.

    (3)
    解:由题意可得:A(-2,0),B(0,4),C(4,0)
    ∴AC=6


    ∴4
    设点M的坐标为(m,n)且
    运用待定系数法可求得AM的解析式为:
    设直线AM与y轴交于N,则

    ∴,整理得:,
    ∴ 或
    解方程得:
    ∴或
    ∴,
    对于方程,整理得,

    ∴没有实数解
    ∴,.
    【点睛】本题属于二次函数的综合题,主要考查了二次函数图像与一次函数图像相结合问题、相似三角形的判定和性质等知识点,解题的关键是掌握分类讨论以及学会利用参数构建方程解决问题.
    7.(2022·贵州遵义·统考三模)已知,如图,抛物线与坐标轴相交于点,两点,对称轴为直线,对称轴与x轴交于点D.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P是抛物线上的点,当时,求点P的坐标;
    (3)点F为二次函数图像上与点C对称的点,点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点F,A,M,N为顶点的平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)或或

    【分析】(1)由对称轴为直线则设抛物线代入点A、C的坐标求出解析式;
    (2)过作,且,过作,过C作于,过作于,构建,即可得出,求得直线的解析式为:与抛物线解析式联立即可得出P点坐标;
    (3)设,,分以AF为对角线时以AN为对角线时, 以为对角线时,进行讨论,列出方程组,即可解答问题.
    【详解】(1)解:∵抛物线对称轴为直线,
    ∴设抛物线,
    把,代入得:

    ∴,
    ∴;
    (2)如图过作,且,过作,过C作于,过作于,

    ∴,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    设直线的解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴;
    (3)∵,
    ∴,
    依题意设,,
    ∵,对称轴为直线,
    ∴,
    ∵,,,,
    当以AF为对角线时,,
    ∴,
    ∴,
    当以AN为对角线时,,
    ∴,
    ∴,
    当以为对角线时,,
    ∴,
    ∴,
    综上所述:或或.
    【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质,一次函数的解析式求法,构造全等三角形的判定和性质,平行四边形存在性问题,是一道有关二次函数的综合题,掌握以上知识点是解题的关.
    8.(2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于和,与y轴交于点C,连接.

    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)如图2,点M为直线上方的抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交于点N,过点M作x轴的平行线,交直线于点Q,求周长的最大值;
    (3)点P为抛物线上的一动点,且,请直接写出满足条件的点P的坐标.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)或

    【分析】(1)利用待定系数法解答,即可求解;
    (2)先利用勾股定理求出,再求出直线解析式为:,设,则,可得,再由,可得,从而得到周长,再利用二次函数的性质,即可求解;
    (3)在x轴负半轴上取点E,使,连接交抛物线于点P,可得,然后求出直线解析式为,再求出直线CE与抛物线的交点坐标;作E关于直线的对称点F,连接并延长交抛物线于,连接EF交AC于点T,则,设,根据,可得.再求出直线CF的解析式,即可求解.
    (1)
    解:把和代入,得:
    ,解得,
    ∴抛物线解析式为;
    (2)
    解:令y=0,则,
    ∴,
    ∴OC=2,
    ∵点A(-4,0),
    ∴OA=4,
    ∴,
    ∴可设直线解析式为,
    把代入得:,
    解得:,
    ∴直线解析式为:,
    设,则,
    ∴ ,
    ∵轴,轴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴周长

    ∵,
    ∴当时,周长最大值为.
    (3)
    解:在x轴负半轴上取点E,使,连接交抛物线于点P,如图.

    ∴OE=2,
    ∴,
    此时,即P是满足条件的点.
    ∵,
    ∴可设直线解析式为,
    把点E(-2,0)代入得:
    ,解得:,
    ∴直线解析式为,
    联立,解得:(舍去)或
    ∴此时点
    ∴;
    作E关于直线的对称点F,连接并延长交抛物线于,连接EF交AC于点T,则,
    ∴是满足条件的点,
    设,
    根据对称性得:,

    解得或(舍去),
    ∴.
    ∵,
    ∴可设直线解析式为,
    把点,代入得:,
    解得:,
    ∴直线解析式为,
    联立,解得或,
    ∴,
    综上,为或.
    【点睛】本题是二次函数的综合题,熟练掌握二次函数的图象和性质,相似三角形的判定和性质,二次函数与一次函数的交点问题,利用数形结合思想解答是解题的关键.
    9.(2022·江苏无锡·模拟预测)如图,直线:与轴、轴分别相交于、两点,抛物线经过点.

    (1)求该抛物线的函数表达式;
    (2)已知点是抛物线上的一个动点,并且点在第一象限内,连接、,设点的横坐标为,的面积为,求与的函数表达式,并求出的最大值;
    (3)在(2)的条件下,当取得最大值时,动点相应的位置记为点,将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线,当直线与直线重合时停止旋转,在旋转过程中,直线与线段交于点,设点、到直线的距离分别为、,当最大时,求直线旋转的角度(即的度数).
    【答案】(1)
    (2),最大值为
    (3)45°

    【分析】(1)利用直线l的解析式求出B点坐标,再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值;
    (2)设M的坐标为(m,-m2+2m+3),然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化;
    (3)由(2)可知m=,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值.
    (1)
    解:令x=0代入y=-3x+3,
    ∴y=3,
    ∴B(0,3),
    把B(0,3)代入,
    ∴3=-3a,
    ∴a=-1,
    ∴二次函数解析式为:y=-x2+2x+3;
    (2)
    令y=0代入y=-x2+2x+3,

    ∴0=-x2+2x+3,
    ∴x=-1或3,
    ∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,
    ∵M在抛物线上,且在第一象限内,
    ∴0<m<3,
    令y=0代入y=-3x+3,
    ∴x=1,
    ∴A的坐标为(1,0),
    由题意知:M的坐标为(m,-m2+2m+3),
    S=S四边形OAMB-S△AOB
    =S△OBM+S△OAM-S△AOB
    =×m×3+×1×(-m2+2m+3)-×1×3
    =-(m-)2+
    ∴当m=时,S取得最大值.
    (3)
    由(2)可知:M′的坐标为(,);
    过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,

    根据题意知:d1+d2=BF,
    此时只要求出BF的最大值即可,
    ∵∠BFM′=90°,
    ∴点F在以BM′为直径的圆上,
    设直线AM′与该圆相交于点H,
    ∵点C在线段BM′上,
    ∴F在优弧上,  
    ∴当F与M′重合时,
    BF可取得最大值,
    此时BM′⊥l1,
    ∵A(1,0),B(0,3),M′(,),
    ∴由勾股定理可求得:,
    过点M′作M′G⊥AB于点G,
    设BG=x,
    ∴由勾股定理可得:M′B2-BG2=M′A2-AG2,
    ∴,
    ∴ ,  
    ∵l1∥l′,
    ∴∠BCA=90°,
    ∠BAC=45°.
    【点睛】本题考查二次函数的综合问题,涉及待定系数求二次函数解析式,求三角形面积,圆的相关性质等知识,内容较为综合,学生需要认真分析题目,化动为静去解决问题.
    10.(2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)如图,二次函数的图象交x轴于点A、点B,其中点B的坐标为,点C的坐标为,过点A、C的直线交二次函数的图象于点D.

    (1)求二次函数和直线的函数表达式;
    (2)连接,则的面积为________;
    (3)在y轴上确定点Q,使得,点Q的坐标为________;
    (4)点M是抛物线上一点,点N为平面上一点,是否存在这样的点N,使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形?若存在,请你直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1);
    (2)6
    (3)或
    (4)存在,或

    【分析】(1)把B点坐标代入函数解析式即可求出二次函数解析式,求出A点坐标后即可求出AC解析式;
    (2)先求出D点坐标,再用公式法求的面积;
    (3)当Q在正半轴时,根据C点坐标可得,根据二次函数对称性结合可得,即AQ平分,即可求出Q点坐标;当Q在负半轴时根据对称性可求;
    (4)以AD为矩形边长时,分别过A、D作直线AD的垂线;当AD为对角线时根据矩形的对角线互相平分且相等求值即可.
    【详解】(1)∵二次函数的图象过点B,
    ∴,解得
    ∴二次函数解析式为
    ∴A点坐标为(-2,0)
    设直线AC的解析式为
    ∴,解得:
    ∴直线AC的解析式为
    (2)∵直线AC:与二次函数交于点A、D
    ∴联立,解得或
    ∴D点坐标为:
    ∵AB=4

    (3)∵C(0,2),A点坐标为(-2,0)

    当Q在正半轴时,
    ∵,QA=QB

    ∴AQ平分
    过Q作PQ⊥AC于P

    设OQ=x,则

    解得
    ∴Q点坐标为
    当Q在与轴负半轴时,根据对称性可得Q点坐标为
    ∴Q点坐标为或
    (4)当AD是矩形边长时
    过A作AM⊥AD交抛物线于M

    ∵直线AC的解析式为
    ∴设直线AM的解析式为
    代入A点(-2,0)得
    ∴直线AM的解析式为
    ∴联立,解得或
    ∴M点坐标为
    ∵此时MN平行且等于AD
    ∴由A(-2,0)平移到D(1,3)与由M平移到N的平移方式一致
    ∴N点坐标为
    同理::过D作DM⊥AD交抛物线于M,此时M(0,4),N(-3,1)
    综上所述,存在,N点坐标为或(-3,1)
    【点睛】本题考查二次函数与几何综合,熟练掌握二次函数的图象及性质,函数图象平移的性质,矩形的判定,分类讨论是解题的关键.
    11.(2022·山东泰安·统考二模)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.

    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点,
    ①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,求的最大值;
    ②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC,若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)①;②存在,D(-2,3)

    【分析】(1)根据题意得到A(-4,0),C(0,2)代入y=-x2+bx+c,于是得到结论;
    (2)①如图1,令y=0,解方程得到x1=-4,x2=1,求得B(1,0),过D作DM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,根据相似三角形的性质即可得到结论;②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,求得P(-,0),得到PA=PC=PB=,过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延线于G,解直角三角形即可得到结论.
    (1)
    解:对于函数:y=x+2,
    令x=0,则y=2,令y=0,则x=-4,
    ∴A(-4,0),C(0,2),
    ∵抛物线y=-x2+bx+c经过A.C两点,
    ∴,
    ∴b=-,c=2,
    ∴y=-x2-x+2;
    (2)
    解:①如图,令y=0,
    ∴,
    ∴,,
    ∴B(1,0),
    过D作DM⊥x轴交AC于点M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,

    ∴,
    ∴,
    ∴,
    设,
    ∴,
    ∵B(1,0),
    ∴,
    ∴,
    ∵-

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