2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题05 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题压轴题） Word版含解析

专题05 一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究单调性（含参）问题）

①导函数有效部分为一次型（或类一次型）

角度1：导函数有效部分为一次型

1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数.

判断函数的单调性：

解的定义域为，

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，令，.令，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数，

讨论函数的单调性；

解由题意知：定义域为，；

当时，恒成立，在上单调递减；

当时，令，解得：；

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数（其中为参数）.

求函数的单调区间：

解由题意得：定义域为，；

当时，，则的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，令，解得：；

当时，；当时，；

的单调递增区间为；单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.

4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．讨论函数的单调性；

，．

当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，从而函数在上单调递减，在上单调递增．

5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数讨论函数的单调性；

解：因为，定义域为，

所以.

①当时，，故在上单调递增；

②当时，若，则，若，则，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴综上，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增.

角度2：导函数有效部分为类一次型

1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数，为常数．

讨论函数的单调性；

解：因为定义域为，，

当时，，则在上单调递增，

当时，由解得，

时，，单调递减，

时，，单调递增

综上知：当时，在上单调递增，

当，的单调递减区间为，单调递增区间为．

2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数，．

讨论函数的单调性；

【解析】

的定义域为，

当时，，故在R上递减．

当时，令得，令得

综上可知：时，在上单调递减

时，在上单调递减，在单调递增

3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数，判定函数的单调性；

【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

解：由题得，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令所以令所以

所以此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；

因为，定义域为，所以．

①当时，令，解得

即当时，单调递增：当时，单调递减；

②当时在单调递增；

③当时令，解得，

即当时，单调递减；当时，单调递增；

综上：当时，在单调递增，在单调递减；

当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增．

5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．讨论函数的单调性；

函数的定义域R，求导得：，

若，由，得，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

若，则对任意都有，则在R上单调递增，

若，当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）

角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型

1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调递增区间.

【答案】(1)(2)答案见解析

(1)解：当时，，

所以，

所以，，

故在点处的切线方程是，即；

(2)解：因为定义域为，

所以，

因为，

当，即当时，由，解得或，

当时，恒成立，

当，即当时，由，解得或，

综上，当时，的递增区间是，，

当时，的递增区间是，

当时，的递增区间是，；

2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；

【答案】函数的定义域为．

．

当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．

当时在单调递增．

当时，，若或，则；若，则．

所以在区间单调递增，在区间单调递减．

当时，，若或，则；若，则．

所以在单调递增，在单调递减．

综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．

时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．

3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数，.讨论的单调性；

【答案】.

当时，，令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减.

当，即时，令，得或；令，得.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

当，即时，恒成立，所以在上单调递增.

当，即时，令，得或；令，得.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

综上所述，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数f(x)的单调性；

【答案】

的定义域为，依题意可知，，

，

当时，由，得，由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，由恒成立，所以在定义域上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.

5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．

(1)求在x＝1处的切线方程；

(2)设，试讨论函数的单调性．

【答案】(1)；(2)答案见解析.

(1)因为，则，

所以，在x＝1处．

在x＝1处切线方程：，即．

(2)因为，

所以，

①若，则当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

②若，，

当时，在和上，在上，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，在和上，在上，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

综上，，在上单调递增，在上单调递减；

，在和上单调递增，在上单调递减；

，在上单调递增；

，在和上单调递增，在上单调递减.

6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数

讨论的单调性；

解：由题意可得的定义域为

①当时，即，在单调递增．

②当时，即，

时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增；

③当时，即，

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

④当时，即，

时，，单调递减，

时，，单调递增；

综上可得：

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型

1．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数求函数的单调区间.

【答案】由题意，得

当时，恒成立，所以在R上单调递增.

当时，由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数．

(1)当a＝1时，求零点的个数；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.

(1)当a＝1时，，

则，

由，得x<0或x>2，由，得0<x<2，

则在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，

因为，，，，

所以有3个零点．

(2)由题意可得，

①当a≤0时，由，得x>2，由，得x<2，

则在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

②当时，由，得或x>2，由，得lna<x<2，

则在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增，

③当时，恒成立，则在（－∞，+∞）上单调递增，

④当时，由，得x<2或x>lna，由，得2<x<lna，

则在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增，

综上，当a≤0时，f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；

当时，在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增；

当时，在（－∞，+∞）上单调递增；

当时，在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增．

3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数

讨论的单调性；

【答案】

的定义域为R, .

i.当a≥-1时, .令,解得；令,解得.

所以的单增区间为,单减区间为.

ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1).

（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以在(-∞,+∞)单增.

（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为,单减区为.

（iii）当ln(-a-1)<0,即-2<a<-1时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为，的单减区间为.

4．（2022·湖北荆州·高二期中）已知函数．讨论的极值．

【答案】

因为，

所以．

令，得或．

①当时，由，得，由，得．

则在上单调递减，在上单调递增，

所以函数有极小值，没有极大值.

②当时，由，得或，由，得．

则在上单调递减，在和上单调递增，

所以函数有极大值，极小值．

③当时，恒成立，

则在上单调递增，函数无极值．

④当时，由，得或，由，得．

则在上单调递减，在和上单调递增，

所以函数有极大值，极小值.

综上，当时，函数有极小值，无极大值；

当时，函数有极大值，极小值；

当时，函数无极值；

当时，函数有极大值，极小值 .

5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．

(1)当时，若两个零点，求k的取值范围；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析

(1)解：因为，，

所以，

令得或（舍去），

所以当时，当时

故在上单调递增，在上单调递减，，

要使有两个零点，则，即，解得，

∴．

(2)解：由（1）得，

令解得或，

当时，即

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，

当时，即，恒成立，所以的单调递增区间为．

当时，即，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．

当时，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数．

设，求函数的单调区间；

【答案】(1)单调增区间是和，单调减区间是

由题意，函数，则，

当时，则，令，解得或；令，解得，．

故的单调增区间是和，单调减区间是．

7．（2022·全国·模拟预测）已知函数.

讨论函数的单调性；

【答案】

由题意得的定义域为，，

令，得或，

①若，则当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

②若，则（当且仅当时取“=”），在上单调递增.

③若，则当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知函数，为常数，.讨论函数的单调性；

【答案】

且

当 时，在 上 ， 上 ，

当 时，在 上， 上， 上，

当 时，在 上，

当 时，在 上， 上， 上 ，

综上， 时 在 上递减， 上递增，

时在 上递增， 上递减，上递增，

时 在 上递增，

时在 上递增， 上递减， 上递增

③导函数有效部分为不可因式分解的二次型

1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，记的导函数为，讨论的单调性；

【答案】解：由已知可得，故可得．

当时，，故在单调递增；

当时，由，解得，或，

记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：

所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．

2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数，．

讨论函数的单调性；

【答案】

显然，函数的定义域为，且，

①若，显然单调递增．

②若，令，有，

易知，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

③若，则，单调递增，

④若，令，有，

易知，

当，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综上所述，

若，的增区间为，减区间为；

若，的增区间为；

若，的增区间为，，

减区间为．

3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；

【答案】

由得，函数的定义域为，

且，令，即，

①当，即时，恒成立，在单调递增；

②当，即时，令，

当时，，的解或，

故在上单调递增，在上单调递减；

当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．

4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数．

求函数的单调区间；

【答案】

的定义域为，，令，

当≤时，即≥时，在上递增，

当时，即时，，

解得，，

当时解得，或，所以函数在，上单调递增，

当时解得，，所以函数在上单调递减.

综上，当≥时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数．若函数，讨论的单调性．

【答案】若，则，

．

当时，，在定义域R上单调递增．

当时，令．解得，．

若或，，则在和上单调递增；

若，，则在上单调递减;

6．（2022·全国·模拟预测）已知函数.当时，讨论函数的单调性.

【答案】由，得.

令，

当时，，因此，所以函数在上单调递减；

当时，，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数．讨论的单调性；

【答案】解：的定义域为，

且，

当时，，则在单调递减，单调递增；

当时，由得，，

所以在单调递减，单调递增；

当时，

①当时，在单调递减；

②当时，当时，

即时，在单调递减；

当时，

即时，

由得，

所以在、单调递减，

在单调递增；

综上所述：

①当时，在单调递减，

在单调递增；

②当时，在单调递减，在单调递增；

③时，在单调递减；

④当时，在、

单调递减，在单调递增；

8．（2022·浙江·模拟预测）设函数.讨论的单调性；

【答案】

①当时，，所以，所以在上递增

②当时，记的两根为

则当时，；当时，；当时，

综上可知，当时，在上递增

当时，在上递增，在上递减，在上递增