上海市长宁区2022届高考二模数学试题（原卷+解析）

这是一份上海市长宁区2022届高考二模数学试题（原卷+解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市长宁区2022届高考二模数学试题 一、单选题1．是方程组有唯一解的（    ）．A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件．2．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ）．A．直线  B．直线 C．直线  D．直线．3．若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（　　）A．（﹣∞，1] B．[1，2]C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）4．已知函数满足：． 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 二、填空题5．设集合，，则_________．6．已知四个数，，，的平均数为，则这四个数的中位数是________．7．已知复数满足：（为虚数单位），则________．8．已知实数满足，则的最小值为___________．9．已知随机事件A、互相独立，且，，则_______．10．已知，若，则_________．11．已知等比数列的公比为2，前项和为，则__________．12．将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．13．曲线的焦点坐标为__________．14．已知函数满足：，则不等式的解集为____．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点． 若，则双曲线的渐近线方程为________．16．已知数列满足：对任意，都有，． 设数列的前项和为，若，则的最大值为__________． 三、解答题17．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为．(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积(2)是底面圆周上的两个点，， 为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小．18．在中，角的对边分别为．(1)若，求(2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值．19．甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．20．已知分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆的右焦点，是椭圆上异于的点．(1)若，求椭圆的标准方程(2)设直线与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点，求证：的值仅与有关(3)如图，在四边形中，，，若四边形面积S的最大值为，求的值．21．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．(1)若函数具有性质，求的值(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．
参考答案：1．C【分析】根据行列式运算法则及直线平行的等价条件即可判断答案.【详解】由题意，直线与直线不平行有唯一解.故选：C.2．A【分析】通过空间想象直接可得.【详解】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A3．D【分析】依题意可得f（x）在[0，1]上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质能求出常数a的取值范围．【详解】解：∵函数存在反函数∴函数在[0，1]上单调若单调递增，即，则在x∈[0，1]上恒成立，即在上恒成立∵在[0，1]上单调递增∴∴a≤1若单调递减，即，则在上恒成立即在上恒成立∴在上单调递增∴∴．综上，常数a的取值范围为．故选：D．4．C【分析】利用辅助角公式化简，结合已知可求解析式，然后由可知等于函数图象对称中心横坐标，求出函数对称中心可得.【详解】，因为，所以当时，取得最大值，即所以，即因为，所以的中点是函数的对称中心，由，得所以，所以易知，当时取得最小值.故选：C5．【分析】先求出集合A，再根据交集的定义即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故答案为：.6．3【分析】根据平均数的公式求得，再分析中位数即可【详解】由题意，，解得，故中位数为故答案为：37．1【分析】根据复数除法运算可得，结合共轭复数概念得，再由复数虚部的概念理解可得结果．【详解】∵，则∴故答案为：1．8．【分析】画出可行域，再根据直线的截距与负相关求解最值即可【详解】画出可行域，因为直线的截距与负相关，故取得最小值时，过的交点，此时故答案为：9．0.42##【分析】根据对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：0.4210．2【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的坐标运算求解即可【详解】因为，故，即，故，故故答案为：211．2【分析】根据等比数列的通项公式，求和公式求解，再求极限即可【详解】因为，，故故答案为：212．18【分析】先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组，再全排列即可，【详解】解：先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，故共有种不同的放法；故答案为：18．13．【分析】根据消去参数，将参数方程化为普通方程，即可求出焦点坐标；【详解】解：因为，又曲线，所以，即，所以，即，所以，即曲线表示焦点在轴上的抛物线，且焦点为；故答案为：14．【分析】根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集．【详解】根据题意可得，且为奇函数当时，，则在上单调递增∴在上单调递增则，即，解得∴即的解集为故答案为：．15．【分析】根据向量的线性运算可得，再根据焦点三角形中的关系可得，再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.【详解】因为，故，即，故，根据双曲线的定义有，故，又直线斜率为，故，所以，根据等腰三角形的性质有，即，解得，故.故双曲线的渐近线方程为故答案为：16．【分析】先说明中不可能存在相邻两项为非负数，可得当时，则，，当时，则，，由此可求得答案.【详解】假设中存在相邻两项 为非负数，则，若，则，与条件矛盾；若，则，与条件矛盾，故中不可能存在相邻两项为非负数，当时，则，则根据得,故，当时，则，则根据得,故，所以总成立，又当n为奇数时， ，所以的奇偶性不同，则，当n为偶数时，，故当k为奇数时, ,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为0；故当k为偶数时, ,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为 ，故的最大值为 ，故答案为：【点睛】本题考查了数列的和的最大值问题，解得的关键是根据题意弄清数列的特征，明确其相邻两项之间的关系.17．(1)(2) 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式求出底面半径，即可求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算可得；（2）设的中点为，连接、，即可得到，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即是直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得．【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，侧面母线长为，圆锥的高为，则，    因为，所以， 所以，所以圆锥的体积．（2）解：设的中点为，连接、，则，因为，所以，                  因为底面，底面，所以，由，平面，所以平面，所以即是直线与平面所成角．         ．因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高，所以，． 因为，所以，所以．即直线与平面所成角为．18．(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可（2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可【详解】（1）因为，由正弦定理，，所以，因为，所以（2）由已知，，所以，                                所以    因为所以（当时取等号）         所以所以的最小值为（当时取得）19．(1)甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析 【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可（2）根据题意可得，再求解分析的单调性，并计算时的取值范围即可【详解】（1）甲的基础工资收入总量元乙的基础工资收入总量元（2），，，设，即，解得所以当时，递增，当时，递减又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．       ．20．(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据已知判断形状，然后可得；（2）设，表示出直线、的方程，然后求Q、R的坐标，直接表示出所求可证；（3）设，，根据已知列方程求解可得之间关系，表示出面积，结合已知可得.【详解】（1）因为，，所以是等边三角形，因为，，所以，得椭圆的标准方程为．（2）设，，，因为，所以直线、的方程分别为，，所以，，又所以，所以的值仅与有关．（3）设，，因为，，所以，两式相减得，带回原式得，因为，所以，因为的最大值为 ，所以 ，得．21．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，，分情况利用零点存在性定理证得结论.【详解】（1）函数具有性质，所以对任意，都有，令，得，令，得， 所以．（2）证明：函数具有性质的充要条件为存在，使得，即，  设，因为，，所以在区间上函数存在零点，       取，则，得函数具有性质．（3）设，因为，所以，令得，，                ①若，则函数存在零点 若，当时，，所以此时函数在区间上存在零点      ②因为所以                          若，当时，，所以此时函数在区间上存在零点．综上，函数在上存在零点．