2022-2023学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析 )

这是一份2022-2023学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析 )，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 某市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是( )
A. 47857名考生的数学成绩B. 2000
C. 抽取的2000名考生D. 抽取的2000名考生的数学成绩
3. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4. 如图，在▱ABCD中，AC、BD交于点O，∠BAO=90°，BD=10cm，AC=6cm，则AB的长为( )
A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 8 cm
5. 下列调查中，更适宜普查的是( )
A. 某本书的印刷错误B. 某产品的使用寿命
C. 某条河中鱼的种类D. 大众对某电视节目的喜好程度
6. 如图①，四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，四边形ABCD称为筝形.根据我们已经知道四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图②所示，则在图②中用圆形阴影画出筝形的大致区域正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 若式子x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
8. 在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%.若要表示以上信息，最合适的统计图是______．
9. 计算：(4)2=______；(−3)2=______．
10. 某班在大课间活动中抽查了20名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据(单位：次)：65，74，83，87，88，89，91，93，100，102，108，111，117，121，130，133，146，158，177，188.则跳绳次数在90～110这一组的频率是______．
11. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(12,3)，点D的坐标为(0,3)，则点C的坐标为______．
12. 如图，同一平面内的四条平行直线l1、l2、l3、l4分别过正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是 ．
13. 如图，在▱ABCD中，∠D=100°，AE平分∠DAB交DC于点E，则∠AEC= °.
14. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1,3)，则BD=______．
15. 如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的对称中心，则2017个这样的正方形重叠部分的面积和为 cm2．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是△ABC内一点，若PA=1，PC=2，∠APC=135°，则PB的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)13+312−48；
(2)5+205−13×12．
18. (本小题8.0分)
某校对学校社团活动开展的满意度进行调查，其满意度分为非常满意、满意、一般、不满意四个等级．调查组从八年级480名学生中随机抽查了若干名学生进行调查，并将反馈情况绘制成如表统计表：
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)根据表中数据，绘制扇形统计图；
(3)估计该校八年级学生“满意”的约有多少人？
19. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG=CH．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)若GH=AD，求证：四边形EHFG是矩形．
20. (本小题8.0分)
知识回顾
我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论：
Ⅰ.二次根式a在实数范围内有意义的条件是a≥0．
Ⅱ.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2=|a|．
类比推广
根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题．
(1)根式2014a在实数范围内有意义的条件是 ，根式2015a在实数范围内有意义的条件是 ；
(2)写出n次根式na(n≥3,n是整数)在实数范围内有意义的条件和性质．
21. (本小题8.0分)
已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．
(1)求证：CF=FD；
(2)若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．
22. (本小题8.0分)
某校体育老师为了研究八年级学生400m赛跑后心率的分布情况，随机抽取了该年级45名学生，测量了他们赛跑后1min的脉搏次数，结果如下：
132 136 138 141 143 144 144 146 146 147 148 149 149 151 151
152 153 153 154 154 154 156 156 157 157 157 158 158 158 159
159 159 159 161 161 162 162 163 163 164 164 164 164 166 166
(1)该调查中的个体是______；
(2)该老师将上述数据分组后，列出了频数分布表，请将频数分布表补充完整；
(3)根据频数分布表画出频数分布直方图．
23. (本小题6.0分)
已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC；
(2)如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
24. (本小题8.0分)
我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
(1)如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF=DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE=12DF，又可证图中的四边形______为平行四边形，可得BC与DF的关系是______，于是推导出了“DE/​/BC，DE=12BC”．
寻找图形，完成证明
(2)如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH=90°，连接CF、CH.求证CF=2BE．
构造图形，解决问题
(3)如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC=∠AEF=120°，连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系．
25. (本小题10.0分)
实践操作
在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
初步思考
(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)．
①当点P与点A重合时，∠DEF=______°；当点E与点A重合时，∠DEF=______°；
②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时的菱形EPFD的边长．
深入探究
(2)若点P落在矩形ABCD的内部(如图③)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
拓展延伸
(3)若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M(如图④).在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】D
【解析】解：这个问题中样本是所抽取的2000名考生的数学成绩．
故选：D．
根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可．
本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
3.【答案】C
【解析】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；
C、
∵在△ADB和△CDB中
∠1=∠2BD=BD∠3=∠4，
∴△ADB≌△CDB(ASA)，
∴AD=CD，AB=CB，
同理△ACD≌△ACB，
∴AB=AD，BC=DC，
即AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵在▱ABCD中，AC、BD交于点O，BD=10cm，AC=6cm，
∴OA=12AC=3cm，OB=12BD=5cm．
∵在直角△ABO中，∠BAO=90°，
∴AB=OB2−OA2=4cm．
故选：A．
根据平行四边形的性质首先求得OA和OB的长，然后在△ABO中，利用勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，以及勾股定理，掌握定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.某本书的印刷错误，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
B.某产品的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C.某条河中鱼的种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
D.大众对某电视节目的喜好程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：A．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】D
【解析】解：当AB与CD不平行时，筝形为一般的四边形；
当AB/​/CD时，筝形为平行四边形，且它的四边相等，此时筝形为菱形；
故选：D．
当AB与CD不平行时，筝形为一般的四边形；当AB/​/CD时，筝形为平行四边形，且它的四边相等，可判断此时筝形为菱形，若∠BAD为直角，筝形为正方形．
本题考查了多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．解决本题的关键是掌握特殊平行四边形的判定方法．
7.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式的性质可知，x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
8.【答案】扇形统计图
【解析】解：最合适的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图．
根据扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案．
此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键．
9.【答案】4 3
【解析】解：(4)2=4；
(−3)2=3．
故答案为：4，3．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法与化简，正确化简二次根式是解题关键．
10.【答案】0.25
【解析】解：这组数据中跳绳次数在90～110共5个，
频率为：520=0.25，
故答案为：0.25．
首先确定跳绳次数在90～110的频数，再算频率即可．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).即频率=频数÷总数．
11.【答案】(6,6)
【解析】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=12AC，BE=DE=12BD，
∵点B的坐标为(12,3)，点D的坐标为(0,3)，
∴OD=3，BD=12，BD/​/x轴，
∴AE=OD=3，DE=6，
∴AC=6，
∴点C的坐标为：(6,6)；
故答案为：(6,6)．
连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=12AC，BE=DE=12BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=3，求出DE=6，AC=6，即可得出点C的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，
∵EF⊥l1，l1/​/l2/​/l3/​/l4，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴DF=1，DE=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
又∵∠ADE+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠CDF，
∵AD=CD，∠AED=∠DFC=90°，
∴△ADE≌△DCF，
∴DF=AE=1，CF=ED=2
∴在Rt△CDF中，CD=DF2+CF2=22+12=5，
∴S正方形ABCD=CD2=5．
故答案为：5．
要求正方形的面积，需知道正方形的边长．过点D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，说明△ADE≌△DCF，得到DF与CF的长，利用勾股定理求出正方形的一个边长，从而问题得到解决．
本题考查了平行线的性质、正方形的性质及全等三角形的判定和性质．构造直角三角形求正方形的边长是解决本题的关键．
13.【答案】140
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠BAD=180°−∠D=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=80°÷2=40°，
∵AB/​/CD，
∴∠AEC=180°−∠BAE=140°；
故答案为：140．
由平行四边形的性质得出AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠BAD=180°−∠D=80°，由角平分线的性质求出∠BAE=40°，再利用平行线的性质即可得出∠AEC的度数．
此题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，三平行线的性质等知识；关键是掌握平行四边形的对边平行．
14.【答案】10
【解析】解：连接OC，
∵顶点C的坐标为(1,3)．
∴OC=32+12=10
∵四边形OBCD是矩形．
∴BD=OC=10．
连接OC，因为四边形OBCD是矩形，所以OC=BD，C的坐标为(1,3)，就可求出OC的长度，那么就可求出BD的长度．
本题考查矩形的性质，关键是知道矩形的对角线相等．
15.【答案】2016
【解析】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×4=4，
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×(n−1)=n−1，
故2017个这样的正方形重叠部分的面积和为2016cm2．
故答案为：2016．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n−1阴影部分的和．
此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
16.【答案】6
【解析】解：如图，把△APC绕点C顺时针旋转90°得到△ABD，
∴AP=AD=1，PC=DB=2，∠ACP=∠ABD，
根据旋转的性质可得△APD是等腰直角三角形，AD=AP=1，∠APD=∠ADP=45°，
∴PD=2，
∵∠APC=135°，
∴∠APC+∠APD=180°，
∴点C、P、D在同一条直线上，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC+∠ACB=90°
∵∠ACP=∠ABD，
∴∠DBC+∠PCB=90°，
∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BDP中，根据勾股定理，得
PB=BD2+PD2=4+2=6．
故答案为：6．
把△APC绕点C顺时针旋转90°得到△ABD，根据旋转的性质可得△APD是等腰直角三角形，AD=AP，∠APD=∠ADP=45°，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠CPD=180°，可得点C、P、D在同一条直线上，然后利用勾股定理求出PB的长即可．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
17.【答案】解：(1)13+312−48
=33+63−43
=733；
(2)5+205−13×12
=5+255−13×12
=3−2
=1．
【解析】(1)直接化简二次根式进而合并得出答案；
(2)利用二次根式混合运算计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】36 30% 120
【解析】解：(1)抽查的学生数：c=24÷20%=120(人)，
a=120×30%=36，b=36120×100%=30%．
故答案为：36，30%，120；
(2)扇形统计图如图所示：
(3)480×30%=144(人)．
答：该校八年级学生“满意”的约有144人．
(1)从统计表中“一般”的人数为24人，占调查人数的20%，可求出调查人数，即为c的值，进而求出a、b的值；
(2)用360°乘以各等级所占的百分比求出圆心角，即可解答；
(3)用该校八年级学生人数乘以样本中“满意”所占的百分比即可．
本题考查了频数分布表，扇形统计图的意义和制作方法，用样本估计总体．读懂统计图表，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠D=∠B，AD=BC，AB=CD，
∵点E、F分别为AB、CD中点，
∴AE=EB=CF=FD，
∵AG=CH，
∴BH=DG，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，△BEH≌△DFG(SAS)，
∴EH=GF，EG=CH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵点E、F分别为AB、CD中点，
∴EF=AD，
∵GH=AD，
∴EF=GH，
∴平行四边形EHFG是矩形．
【解析】(1)由“SAS”可证△AGE≌△CHF，△BEH≌△DFG，可得EH=GF，EG=CH，可证四边形EHFG是平行四边形；
(2)利用矩形的判定解答即可．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
20.【答案】a≥0 a为任意实数
【解析】解：(1)根据根指数的奇、偶性知：根式2014a在实数范围内有意义的条件是a≥0，根式2015a在实数范围内有意义的条件是a为任意实数，
故答案为：a≥0；a为任意实数；
(2)na(n≥3,n是整数)有意义的条件：
当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a为任意实数．na(n≥3,n是整数)有意义；
性质：
当n为偶数时，①(na)n=a(a≥0)，②nan=|a|；
当n为奇数时，①(na)n=a，②nan=a．
(1)类比二次根式和三次根式有意义的条件求解；
(2)类比二次根式和三次根式有意义的条件和性质求解．
本题考查了二次根式的性质和化简、分数指数幂及二次根式有意义的条件，理解类比思想是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，OA=OC，
∴∠DAF=∠CEF，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
在△ADF和△ECF中，∠ADF=∠ECF ∠DFA=∠CFE AD=EC ，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴CF=FD；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=DC=6，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AD/​/CE，AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE/​/AC，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵OA=OC，DF=FC，
∴OF=12AD=3．
【解析】(1)由平行四边形的性质证出∠DAF=∠CEF，AD=CE，由AAS证明△ADF≌△ECF，即可得出结论；
(2)根据题意可判断出OF是△ADC的中位线，得出OF=12AD即可．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
22.【答案】(1)某校八年级每一个学生400m赛跑后1min的脉搏次数；
(2)142 2 142 5；
(3)频率分布直方图如图所示：

【解析】解：(1)由题，答案为：某校八年级每一个学生400m赛跑后1min的脉搏次数；
(2)根据组距为5，可得各组的分界值，根据频数统计可得各组频数，
故答案为：142，142，2，5；
(3)见答案．
(1)根据总体、个体的意义结合实际问题情境得出答案；
(2)求出表格中的分组，依据组距和频数统计可得答案；
(3)根据频数分布表画出频数分布直方图．
本题考查频数分布表、频率分布直方图，整体、个体，理解整体、个体的意义，掌握频数分布直方图的画法是解决问题的前提．
23.【答案】解：(1)如图①，平行四边形ABDC为所作；
(2)如图②，PQ为所作．

【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
(1)分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件；
(2)连接AO，延长AO到G使OG=AO，再作∠PGA=∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件．
24.【答案】BCFD 平行且相等
【解析】解：(1)∵AE=CE，DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF，∠ADE=∠F，
∴BD/​/CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF/​/BC，
故答案为：BCFD，平行且相等；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠ABE+∠CBE=90°
∵△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=2BE=2BH，∠BEH=∠BHE=45°，
∠EBH=90°，即∠CBH+∠CBE=90°
∴∠ABE=∠CBH，
在△ABE 和△CBH 中，AB=CB∠ABE=∠CBHBE=BH，
∴△ABE≌△CBH(SAS)，
∴AE=CH，∠AEB=∠CHB，
∴∠CHE=∠CHB−∠BHE=∠CHB−45=∠AEB−45，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴EF=HC，∠FEH=360°−∠AEF−∠AEB−∠BEH=225°−∠AEB，
∴∠CHE+∠FEH=∠AEB−45°+225°−∠AEB=180°，
∴EF//HC 且 EF=HC，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF=EH=2BE；
(3)CF=3BE，
如图，过点B作BH，使∠EBH=120°，且BH=BE，连接EH、CH，
则∠BHE=∠BEH=30°，
∵∠ABC=∠EBH=120°，
∴∠ABE=∠CBH，
∵AB=BC，BE=BH，
∴△AEB≌△CHB(SAS)，
∴CH=AE=EF，∠CHB=∠AEB，
∵∠CHE=∠CHB−∠BHE=∠AEB−30°，
∠FEH=360°−∠AEF−∠AEB−∠BEH=210°−∠AEB，
∴∠CHE+∠FEH=180°，
∴CH/​/EF且CH=EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF=EH，
过B作BN⊥EH于N，
在△EBH中，∠EBH=120°，BH=BE，
∴∠BEN=30°，EH=2EN，
∴EN=32BE，
∴EH=3BE，
∴CF=EH=3BE．
(1)根据全等三角形的性质得到AD=CF，∠ADE=∠F，根据平行四边形的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠ABE+∠CBE=90°根据全等三角形的性质得到AE=CH，∠AEB=∠CHB，推出四边形EFCH是平行四边形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(3)如图，过点B作BH，使∠EBH=120°，且BH=BE，连接EH、CH，根据全等三角形的性质得到CH=AE=EF，∠CHB=∠AEB，推出四边形EFCH是平行四边形，得到CF=EH，过B作BN⊥EH于N，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确是作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】90 45
【解析】解：(1)①当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90°，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF=12∠DAB=45°，
故答案为：90°，45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC/​/AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE(ASA)，
∴DF=PE，
∵DF/​/PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴▱DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，则AE=7−x，DE=x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴62+(7−x)2=x2，
x=8514，
∴当AP=7时，设菱形的边长为8514；
(2)若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，
如图4，设DF=PF=x，则AF=62+x2，当A，P，F在一直线上时，AP最小，最小值为62+x2−x=3662+x2+x，所以当x最大取8时，AP最小值为2；
(3)情况一：如图5，连接EM，
∵DE=EP=AM，
∴△EAM≌△MPE，
设AE=x，则AM=DE=6−x，则BM=x+2，
∵MP=EA=x，CP=CD=8，
∴MC=8−x，
∴(x+2)2+62=(8−x)2，
解得：x=65；
情况二，如图6，
∵DE=EP=AM，
∴△GAM≌△GPE，
设AE=x，则DE=6−x，则AM=PE=DE=6−x，MP=AE=x，
则MC=MP+PC=x+8，BC=6，BM=14−x，
∴(14−x)2+62=(x+8)2，
解得：x=4211．
(1)①当点P与点A重合时，如图1，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图2，则EF平分∠DAB；
②证明△DOF≌△POE(ASA)得DF=PE，根据一组对边平行且相等得：四边形DEPF是平行四边形，加上对角线互相垂直可得▱DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：62+(7−x)2=x2，求出x的值即可；
(2)如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求CD=PC=8，由勾股定理求AC=10，所以AP=10−8=2；
(3)分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
满意度
频数
百分比
非常满意
a
30%
满意
36
b
一般
24
20%
不满意
24
20%
合计
c
100%
脉搏次数x(次/分)
频数/学生人数
132≤x<137
2
137≤x< ______
______
______ ≤x<147
______
147≤x<152
6
152≤x<157
8
157≤x<162
12
162≤x<167
10