初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形教学设计

矩形菱形正方形

学习目标：

1、理解矩形、菱形、正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理，以及它们的判定定理

3、了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离

一、知识详解

知识点一、矩形的定义及性质

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

注意点：

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质

2.矩形的两条对角线分矩形为两对全等的等腰三角形

3.矩形的面积等于长×宽

4.从对称性来看，矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点，它有两条对称轴，是分别经过两组对边中点的直线

例1、如图，E,F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。

求证：BE=CF

知识点二、矩形的判定定理

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形

注意点：

1.在用判别方法（1）（2）时，首先要说明四边形是平行四边形，再说明平行四边形中有一个内角是直角或对角线相等。

2.“对角线相等的平行四边形是矩形”也可以说成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”

例2、如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC，且∠BAD=∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形

知识点三、平行线间的距离

如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离

注意点：

不能误认为夹在两平行线间的线段的长度就是平行线间的距离

例3、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上。设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由

知识点四、菱形的定义及性质

1.菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2.菱形的性质

（1）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴；

（2）菱形的四条边相等；

（3）菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角

注意点：

1.菱形也是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，其本身还具有特殊的性质，它的两条对角线将其分成四个全等的直角三角形

2.菱形的面积等于它的两条对角线长度乘积的一半

3.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形

例4、如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O,DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=___________

知识点五、菱形的判定

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边相等的四边形是菱形

注意点：

1.在用判别方法（1）（2）时，首先要说明四边形是平行四边形，再说明平行四边形中有一组邻边相等或对角线互相垂直

2.“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”也可以说成“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”

例5、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形

知识点六、正方形的定义及性质

1.正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

2.正方形的性质：

正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质

注意点：

1.正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，所以既具有平行四边形的一切性质，还具有矩形和菱形的一切性质，其本身还具有特殊的性质。

归纳如下：

对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形；

边：四条边相等；

角：四个角都是直角

对角线：两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

2.正方形的一条对角线分正方形为两个全等的等腰直角三角形，两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形

例6、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（    ）

A.1         B.        C.       D.

知识点七、正方形的判定

1.对角线互相垂直或邻边相等的矩形是正方形

2.一个角等于90°或对角线相等的菱形是正方形

注意点：

1.可以先判定为平行四边形，再判定为矩形，最后判定为正方形

2.可以先判定为矩形，再判定为正方形

3.可以先判定为菱形，再判定为正方形

例7、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CF为∠ACB的平分线，FD⊥CA于点D,FE⊥BC于点E。求证：四边形CDFE是正方形

二、典例拓展

拓展一、菱形面积问题

例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________

拓展二、矩形折叠问题

例2、如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长是（    ）

A.3       B.       C.5       D.

拓展三、条件探究型问题

例3、已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF。

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形

（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形？请说明理由

例4、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图①所示的四边形ABCD

（1）求证：四边形ABCD是菱形。

（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由

拓展四、探究菱形与三角形相结合的问题

例5、如图，已知E为菱形ABOP对角线的交点，C为AP上一点，连接BC交AO于点D，且AD=AC。

（1）求证：AE=（AB+AC）；

（2）若AC=3，AB=5，求三角形ABD的面积

拓展五、矩形、菱形、正方形综合

例6、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，

∠B=60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD,BC分别交于点F,E，设直线EF与BC的夹角为α

（1）当α的度数是多少时，四边形AFCE为菱形？为什么？

（2）当α的度数是多少时，四边形AFCE为矩形？为什么？

（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？

拓展六、探索正方形内物体运动的路径

例7、如图，4个小动物分别站在正方形场地ABCD的4个顶点处，它们同时出发并以相同的速度沿场地边缘逆时针方向跑动，当它们同时停止时，顺次连接4个动物所在地点围成的图形是什么形状？为什么？

三、易错辨析

易错点：错误的理解菱形的判定方法

例、如图，有一矩形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使B与D重合。求证：四边形BEDF是菱形

正确解答：由折叠可知EF垂直平分BD，即OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2.

∴易证△BOF≌△DOE.

∴OE=OF，

即EF与BD互相垂直平分

∴四边形BEDF是菱形

易错总结：解答本题常见错误是由折叠可知点B,D关于EF对称，从而得到EB=ED,FB=FD，直接判定四边形BEDF是菱形。“有两组邻边相等的四边形是菱形”显然是错误的

四、中考真题

1.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（    ）

A.∠BAC=∠DCA         B.∠BAC=∠DAC

C.∠BAC=∠ABD         D.∠BAC=∠ADB

2.如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=_______

3.如图，在矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形

（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由

五、即时检测

1、如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=（    ）

A.30°        B.25°         C.20°         D.15°

2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO=CO, BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（      ）

A. AB=AD       B. AC= BD        C.AC⊥BD        D.∠ABO=∠CBO

3、如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=___________

4、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，记旋转角为α（0°<α<90°）。若∠1=110°，则角a等于_____

5、如图，已知矩形ABCD延长CB到点E，使CE=CA,F是AE的中点。求证：BF⊥FD

六、课后作业

1、如图，在面积为5的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°， AD=CD,DP⊥AB于点P，则DP的长是___________

2、如图所示，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，∠AED=90°，∠DAE=60°，DE=，则这个矩形的面积是________

3、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC面积为_________

4、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10,0），（0,4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_________________

5、如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA=_____度

6、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3。则矩形对角线的长等于_________

7、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E,AB=3cm,BC=4cm，求阴影部分的面积

8、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,DP//AC,CP//BD

（1）求证：四边形ABCD是菱形

（2）若AC=4，BD=6，求OP的长