第7讲 找规律（基础版）小升初数学精讲精练专题真题汇编讲义（原卷+解析）通用版

基础版（通用）

小升初数学精讲精练专题汇编讲义

第7讲 找规律

小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答

知识点一：数字中的规律

1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律；

2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方；

重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验

知识点二：图形中的规律

1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换.....

2.可通过观察、分析、猜想等方法探索

知识点三：算式中的规律

1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果

2.可运用计算器计算，发现得数的规律。

知识点四：数形结合中的规律

1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题

2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。

知识点五：周期规律

1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题

2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。

知识点六：找规律问题常见策略

1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；

6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。

重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式.

一、精挑细选(共6题；每题2分，共12分)

1．（2分）（2023六上·北碚期末）小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（　　）。

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解：26＋11＋13
=37＋13
=50，输出的数据是。
故答案为：C。

【思路点拨】规律是：分子依次是1、2、3、4、5、6、7······的自然数，分母依次加上3、5、7、9、11、13······。

2．（2分）“”按照规律，下一个式是（　　）。

A． B． C．

【答案】A

【规范解答】解：按照规律，下一个式是=-。
故答案为：A。
【思路点拨】从题中所给的式子可以得到：
等号右边的算式中，被减数和减数的分子都是1，减数的分母比被减数的分母多1；
每一个算式的被减数是前一个算式的减数；
等号左边的数的分子是1，分母是被减数与减数分母的乘积。

3．（2分）（2022·龙岗）按如图的规律摆图形，第n个图形的周长是（　　）cm。（每个小正方形的边长是1cm）

A．3n+4 B．4n+2 C．2n+4 D．5n+2

【答案】C

【规范解答】解：第1个图形的周长是：2厘米+4厘米；
第2个图形的周长是：2厘米×2+4厘米；
第3个图形的周长是：2厘米×3+4厘米；
...   ...
第n个图形的周长是：2厘米×n+4厘米。
故答案为：C。

【思路点拨】图形的周长左右的边长是不变的，变化的是上下的长度，据此解答。

4．（2分）（2022·宁强）下列图形都是由一样大小的小棒按照一定规律所组成的，其中第1个图形中有1根小棒，第2个图形中有3根小棒，第3个图形中有7根小棒，第4个图形中有15根小棒，⋯按此规律排列下去，则第6个图形中有（　　）根小棒。

A．31 B．32 C．63 D．64

【答案】C

【规范解答】解：26-1=64-1=63根，所以第6个图形中有63根小棒。
故答案为：C。

【思路点拨】第1个图形有小棒的根数：1=21-1；
第2个图形有小棒的根数：3=22-1；
第3个图形有小棒的根数：7=23​​​​​​​-1；
第4个图形有小棒的根数：15=24​​​​​​​-1；
……
第n个图形有小棒的根数：2n​​​​​​​-1。

5．（2分）（2022六下·重庆期末）有一列数：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……，则 是第（　　）个数。

A．88 B．94 C．88或94 D．81或88

【答案】C

【规范解答】解：是第88或94个数。
故答案为：C。
【思路点拨】先算出这列数中，分母是1~9的分数一共有1+3+5+7+9+11+13+15+17=81个数，分母是10的这样的分数列是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，由此可以得出是第几个数。

6．（2分）（2021·富县）正方形纸片按规律拼成如下的图案，第（　　）个图案中恰好有365个纸片。

A．73 B．81 C．91

【答案】C

【规范解答】解：（365-1）÷4=91个，所以第91个图案中恰好有365个纸片。
故答案为：C。
【思路点拨】第1个图案中有纸片的个数：5=1+4×1；
第2个图案中有纸片的个数：9=1+4×2；
第3个图案中有纸片的个数：13=1+4×3；
……
第n个图案中有纸片的个数：4n+1。

二、仔细想，认真填(共10题；每空1分，共14分)

7．（1分）（2023六上·香洲期末）用小棒以下面的方式摆六边形，摆21个六边形要用小棒　     　根。

【答案】106

【规范解答】解：21×5＋1
=105＋1
=106（根）。
故答案为：106。

【思路点拨】摆n个六边形要用小棒的根数=（5n＋1） 根。

8．（1分）（2023六上·龙里期末）下面的四个正方形中，数的排列有规律也有联系，则A=　     　。

【答案】54

【规范解答】解：4＋1=5
（4＋5）×6
=9×6
=54。
故答案为：54。

【思路点拨】B代表的数的规律是：从2开始依次加1；A=（4＋B）×右下角的数。

9．（4分）（2022六上·雨花台期中）图中每个正方体的棱长都是1厘米，请你完成下面的填空：
 

一个正方体的表面积是　     　平方厘米：两个正方体拼成的长方体表面积是　     　平方厘米：

三个正方体拼成的长方体表面积是　     　平方厘米：　     　个正方体拼成的长方体表面积是686平方厘米。

【答案】6；10；14；171

【规范解答】解：1×1=1（平方厘米）
1×6=6（平方厘米）
1×10=10（平方厘米）
3×4＋2
=12＋2
=14（平方厘米）
（686-2）÷4
=684÷4
=171（个）。
故答案为：6；10；14；171。
【思路点拨】n个正方体拼成的长方体的表面积=（4n＋2）平方厘米。

10．（1分）（2022·八步）找规律填数：2，3，7，16，　     　，57，93，……。

【答案】32

【规范解答】解：16＋42
=16＋16
=32。
故答案为：32。
【思路点拨】规律是：依次加12、22、32、42、52、62。

11．（1分）（2022·泗水）仔细观察如图，找出其中的规律，“？”所代表的数应是　     　。

【答案】6

【规范解答】解：36÷（8-2）
=36÷6
=6。
故答案为：6。

【思路点拨】规律是：左边方框里面的数×下面圆里两个数的差=右边方框里面的数。

12．（1分）（2022·灵武）观察下面的点阵图规律，第（6）个点阵图中　     　个点。

【答案】21

【规范解答】解：第（6）个点阵图中6+7+8=21个点。
故答案为：21。

【思路点拨】第（1）个点阵图中点的个数：6=1+2+3；
第（2）个点阵图中点的个数：9=2+3+4；
第（3）个点阵图中点的个数：12=3+4+5；
……
第（n）个点阵图中点的个数：n+（n+1）+（n+2）。

13．（2分）（2022·蕲春）找规律，填一填。

，，，　     　，，　     　

【答案】；

【规范解答】解：×=，×=，所以，，，，，。
故答案为：；。

【思路点拨】观察已知数字可知，前一个数字乘即可得到相邻的下一个数字，这样依次计算缺少的数字即可。

14．（1分）（2022·双城）用黑白两种颜色的正方形，按一定的规律拼成一列图案（如图），第20个图中有白色正方形　     　个。

【答案】61

【规范解答】解：1+30×2
=1+60
=61（个）
故答案为：61。

【思路点拨】第1个图形：（1+3）个；
第2个图形：（1+3×2）个；
第3个图形：（1+3×3）个；
...   ...
第20个图形：（1+3×20）个。

15．（1分）（2022·殷都）观察如图，如果照这样摆下去，第10个图形需要　     　根小棒。

【答案】31

【规范解答】解：3×10＋1
=30＋1
=31（根）。
故答案为：31。

【思路点拨】第n个图形需要小棒的根数=（3n＋1）根。

16．（1分）（2022·罗源）如图所示，摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形，需要（4+3）根小棒，摆三个正方形需要（4+3+3）根小棒，如果摆n个正方形需要　     　根小棒。

【答案】3n+1

【规范解答】解：根据规律可知，摆n个正方形需要（3n+1）根小棒。
故答案为：3n+1。

【思路点拨】从第一个正方形开始，每增加1个正方形就需要增加3根小棒。第一个正方形可以看作是（3+1）根小棒，这个根据规律用字母表示出来即可。

三、综合题(共4题；共14分)

17．（8分）找规律，填一填。

（1）（1分），，，，　     　，　     　，　     　。

（2）（1分），，，，　     　，　     　。

（3）（1分） ，，，，　     　，　     　，　     　。

【答案】（1）；；

（2）；

（3）；；

【规范解答】解：（1），，，，，，；
（2），，，，，；
（3），，，，，，。

故答案为：（1）；；；（2）；；（3）；；。

【思路点拨】（1）从已给的数据可以得出，每个数的分子都是1，分母都比前一个分母多2，据此作答即可；
（2）从已给的数据可以得出，每个数的分子都是1，相邻3个分数的分母中，前两个分数分母的积等于第三个分数的分母，据此作答即可；
（3）从已给的数据可以得出，每个数都是前一个分数的，据此作答即可。

18．（2分）（2022六下·长兴期末）用同样大小的黑色棋子按下图所示的规律摆放成正方形。

（1）（1分）按上图所示的规律摆放成正方形，第5个正方形有　     　个点。

（2）（1分）第n个正方形的点子总数可表示为　     　。

【答案】（1）20

（2）4n

【规范解答】解：（1）5×4=20（个）；
（2）第n个正方形的点子总数可表示为4n。
故答案为：（1）20；（2）4n。

【思路点拨】第n个正方形的点子总数=4n个。

19．（2分）（2022六下·洛龙期末）摆一摆，找规律。

（1）（1分）摆第7个图形需要　     　根小棒。

（2）（1分）摆第n个图形需要　     　根小棒。

【答案】（1）15

（2）2n+1

【规范解答】解：（1）摆第7个图形需要7×2+1=15根小棒；
（2）摆第n个图形需要2n+1根小棒。

故答案为：（1）15；（2）2n+1。

【思路点拨】摆第1个图形需要小棒的根数：3；
摆第2个图形需要小棒的根数：5=2×2+1；
摆第3个图形需要小棒的根数：7=3×2+1；
摆第4个图形需要小棒的根数：9=4×2+1；
……
摆第n个图形需要小棒的根数：2n+1。

20．（2分）（2022六上·玉环期末）如下图，用同样大小的黑、白两种正方形瓷砖铺设正方形地面。

（1）（1分）当黑色瓷砖是20块时，白色瓷砖是　     　块。

（2）（1分）当白色瓷砖是n2块时（n是正整数），黑色瓷砖是　         　块。

【答案】（1）16

（2）4（n+1）

【规范解答】 4（n+1）=20
4n+4=20
4n=16
n=4
n2=4×4=16（块）
故答案为：（1）16；（2）4（n+1）。

【思路点拨】观察图可知，
第1个图形有1块白瓷砖，瓷砖的总数是（1+2）2块，则黑瓷砖有（1+2）2-1块；
第2个图形有22块白瓷砖，瓷砖的总数是（2+2）2块，则黑瓷砖有（2+2）2-22块；
第3个图形有32块白瓷砖，瓷砖的总数是（3+2）2块，则黑瓷砖有（3+2）2-22块；
……
第n个图形有n2块白瓷砖，瓷砖的总数是（n+2）2块，则黑瓷砖有（n+2）2-n2=4n+4=4（n+1）块；
那么当黑色瓷砖为20块时，（n+2）2-n2=20，解得n=4，那么白瓷砖为42=16 。

四、解答问题(共9题；共60分)

21．（6分）（2022·包河）观察下列等式与图形（其中正方形的边长均为1）的关系。

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（5分）写出第4个等式，并在右边给出的四个正方形上涂出与之对应的图示：

（2）（1分）写出你猜想的第n个等式是 　                    　。

【答案】（1）

（2）n× ＝n﹣

【规范解答】解：（1）；
（2）第n个等式是：n×=n-。
故答案为：（2）n×=n-。
【思路点拨】正方形的个数×阴影占正方形的几分之几=正方形的个数×阴影占正方形的几分之几；规律：第几个等式中的几×=几-。

22．（5分）（2022六下·竞赛）1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？

【答案】解：设这个数为：x-6，x-3，x，x+3，x+6，x+9，
根据题意可得6x+9=159
                          6x=159-9
                          6x=150
                            x=25
所以最小的数=25-6=19。

【思路点拨】观察这组数据可得公差是3，所以设这6个数中间的一个是是x，则有x-6，x-3，x，x+3，x+6，x+9，接下来根据题意即可得出6x+9=159，计算出x的值，进一步即可得出这6个数中的最小数。

23．（10分）摆一摆，找规律。

（1）（5分）第7个图形是什么图形？

（2）（5分）摆第8个图形需要用多少根小棒？

【答案】（1）答：第7个图形是梯形。

（2）解：第1个图形是3根小棒，3=2×1+1；
第2个图形是5根小棒，5=2×2+1；
第3个图形是7根小棒，7=2×3+1；
第4个图形是9根小棒，9=2×4+1；
……
第n个图形需要小棒的根数=2n+1；
所以第8个图形需要小棒的根数=2×8+1=17。

【思路点拨】（1）观察图形第1个图形是三角形；第2个图形是平行四边形；第3个图形是梯形；第4个图形是平行四边形；第5个图形是梯形；第6个图形是平行四边形；第7个图形是梯形；即可得出第偶数个图形是平行四边形；除去第一个外，第奇数个图形是梯形；
（2）第1个图形是3根小棒；第2个图形是5根小棒；第3个图形是7根小棒；第4个图形是9根小棒；……后一个图形比前一个图形多2根小棒，所以第n个图形需要小棒的根数=2n+1，再将n=8代入式子即可得出答案。

24．（7分）有10条直线两两相交，且交点都不重合，能得到几个交点？试着画一画，完成下表。

【答案】解：

【规范解答】解：如图：
 

【思路点拨】每条直线与其余直线都有交点时，肯定交点最多，一条直线上可以有（n-1）个交点，一共n条直线，而一个交点是两条直线共有的，所以n条直线两两相交，交点最多有的个数是n(n-1)÷2。

25．（6分）（2020·海安模拟）下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。

【答案】解：据图可得△=1,；
据图和可得○=2；
据图可得：□=3；
故答案为：；。

【思路点拨】根据图形和数字的排列规律可发现，△=1，○=2，□=3，十位上的数代表的图形在外，个位上的数代表的图形在内，据此推理即可。

26．（5分）（2020·华南师范）有一列数，从小到大依次为 2，5，10，17，26，37…照这样，第 100 个数是多少？

【答案】解：分析数列可知：
2=1²+1
5=2²+1
10=3²+1
17=4²+1
26=5²+1
37=6²+1
······
故第 100 个数是：100²+1=10001。

【思路点拨】分析数列，第一个数是1²+1；第二个数是2²+1，以此类推，第n个数为n²+1，当n=100时，代入计算即可。

27．（6分）（2019六上·浦口期末）如图，把一个正方体放在地板上，露在外面的面数有5个.不同的摆放，露在外面的面数会一样吗? 把你的发现填写在表格中。

摆法一

摆法二

【答案】摆法一：

 摆法二：

【思路点拨】摆法一：观察表格中的数值可得增加1个小正方体，露在外面的面数增加3面，即可得出露在外面的面的面数=3×小正方体的个数+2；
摆法二：观察表格中的数值可得增加1个小正方体，露在外面的面数增加4面，即可得出露在外面的面的面数=4×小正方体的个数+1。

28．（5分）（2022六下·竞赛）已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，…，问2009是这个数列的第多少项？

【答案】解：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，…

奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…

仔细观察能发现，在整个数列中，奇数项上的数=项数+1，偶数项上的数=项数-1，
所以2009所在的项数=2009+1=2010。

【思路点拨】观察这组数据即可得出偶数项的规律是1、3、5、7、9、……；奇数项的规律是2、4、6、8、……；仔细观察能发现，在整个数列中，奇数项上的数=项数+1，偶数项上的数=项数-1，所以2009是偶数项上的数，即2009=项数-1，计算即可得出项数。

29．（10分）

（1）（5分）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个•？

（2）（5分）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个•?

【答案】（1）解：4×n=4n（个）
答：第n个图形需要4n个•。

（2）解：200÷4=50（个）
答：摆第50个图形需要用200个•。

【解析】（2）【思路点拨】第1个图形中有•的个数：4=1×4；
第2个图形中有•的个数：8=2×4；
第3个图形中有•的个数：12=3×4；
……
第n个图形中有•的个数：4n。