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高中数学高考考点15 利用导数研究函数的单调性(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
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这是一份高中数学高考考点15 利用导数研究函数的单调性(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用),共28页。试卷主要包含了已知且,函数等内容,欢迎下载使用。
考向15 利用导数研究函数的单调性
1.(2014·全国高考真题(文))若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
试题分析:,∵函数在区间单调递增,∴在区间上恒成立.∴,而在区间上单调递减,∴.∴的取值范围是.故选D.
考点:利用导数研究函数的单调性.
2.(2021·全国高考真题(理))已知且,函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求a的取值范围.
【答案】(1)上单调递增;上单调递减;(2).
【分析】
(1)求得函数的导函数,利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性;
(2)利用指数对数的运算法则,可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根,即曲线与直线有两个交点,利用导函数研究的单调性,并结合的正负,零点和极限值分析的图象,进而得到,发现这正好是,然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【详解】
(1)当时,,
令得,当时,,当时,,
∴函数在上单调递增;上单调递减;
(2),设函数,
则,令,得,
在内,单调递增;
在上,单调递减;
,
又,当趋近于时,趋近于0,
所以曲线与直线有且仅有两个交点,即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性,根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题,属较难试题,关键是将问题进行等价转化,分离参数,构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值,图象,利用数形结合思想求解.
1.求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间.(4)在定义域内解不等式f′(x)0),令解得,因此函数的单调减区间为,故选B
考点定位:本小题考查导数问题,意在考查考生利用导数求函数单调区间,注意函数本身隐含的定义域
2.【答案】B
【详解】
试题分析:函数的定义域为,关于原点对称,
,因此函数是奇函数,不恒等于0,函数是增函数,故答案为B.
考点:函数的奇偶性和单调性.
3.【答案】A
【详解】
若,必有.
构造函数:,则,
则恒成立,
故有函数在x>0上单调递增,
所以a>b成立.故选A.
4.【答案】B
【详解】
由y=f′(x)的图象知,y=f(x)的图象为增函数,
且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢.
故选B.
5.【答案】C
【详解】
试题分析:令,则,因此,所以选C.
考点:利用导数研究不等式
【方法点睛】
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等
6.【答案】A
【详解】
对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤:① 确定函数f(x)的定义域;②求f′(x);③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f′(x)
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