高中数学高考考点06 基本不等式及应用（解析版）

这是一份高中数学高考考点06 基本不等式及应用（解析版），共15页。
【命题解读】
基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.
【基础知识回顾】
1、基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab>0)．
(3)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．
1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D．>1(x∈R)
【答案】C
【解析】
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
故选：C.
2、若正数满足，则的最小值为（ ）
A.B.
C.D.3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
A．若，则；
B．若则；
C．若，，则；
D．若，，则.
【答案】AD
【解析】
对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确；
对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；
对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；
对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，
即四个推段中正确的为AD，
故答案为AD.
4、已知a>0, b>0，且eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值是________．
【答案】 2eq \r(6)
【解析】、eq \a\vs4\al(思路分析) 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为eq \r(ab)＝eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)≥2eq \r(\f(2,a)·\f(3,b))，所以ab≥2eq \r(6)，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(3,b)＝eq \r(6)时，取等号．
5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
【答案】15 eq \f(15,2)
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2＝eq \f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号．
6、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为________．
【答案】2 eq \f(9,4)
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝eq \f(1,2)a·2b≤eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·eq \f(a＋2b,4)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq \f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(9,4).
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴
，
当且仅当且即时，等号成立；
故选：C．
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
【答案】D
【解析】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．
变式2、 (1)已知04，则x＋y＝x＋eq \f(x,x－4)＝x＋eq \f(x－4＋4,x－4)＝x＋eq \f(4,x－4)＋1＝(x－4)＋eq \f(4,x－4)＋5≥2eq \r(（x－4）·\f(4,x－4))＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法2(“1”的代换) 因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)＝1，x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋5≥2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法3(函数法) 令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝eq \f(x,x－4)>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.
变式1、已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】：
【解析】：由
得．
又，
∴，∴的最大值为．
变式2、（1）已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是________．
(2)已知正数满足恒成立，则实数的最小值为________．
【答案】：（1） （2）2
【解析】： (1)对任意恒成立，即恒成立，
即知
设，则．
∵∴．∴，
∴，故的取值范围是．
(2)∵，
∴ (当且仅当时取等号)．
又由可得，
而，
∴当且仅当时，
∴的最小值为．
方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
考点五、运用基本不等式解决实际问题
考向五 运用基本不等式解决实际问题
例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq \f(1,3)x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq \f(10 000,x)－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0