2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第03讲 一次方程

这是一份2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第03讲 一次方程，文件包含第03讲一次方程-组与一元一次不等式-组-题型训练-老师版pdf、第03讲一次方程-组与一元一次不等式-组-易错点梳理+微练习-老师版doc、第03讲一次方程-组与一元一次不等式-组-题型训练-学生版doc、第03讲一次方程-组与一元一次不等式-组-知识点梳理-记诵版31323176doc、第03讲一次方程-组与一元一次不等式-组-易错点梳理+微练习-学生版doc等5份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

考点01 方程的有关概念
一、等式
1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：
（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么）
3.等式性质的延伸：
（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果，那么。
（2）传递性：如果，，那么。
二、方程的概念和方程的解
1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：
（1）它是方程中的未知数的值；
（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数；
（2）一元一次方程满足3个条件：
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数是1.
（3）一元一次方程的标准形式：。
考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用
一、解一元一次方程
1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：
（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；
（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；
（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“”的形式（）；
（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。
二、一元一次方程的应用
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量关系；
（2）设：用来表示题目中的一个未知数，其他的未知数用含的整式来表示；
（3）列：根据题目的等量关系列出方程；
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验：检验所得未知数的值是否是方程的解，是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案。
2.列一元一次方程解应用题的常见类型：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等；
（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=；
（11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。
考点03 二元一次方程组及其解法
（一）二元一次方程
1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。
3.二元一次方程组的解的拓展：
（1）二元一次方程组的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，例如
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数对数值适合这个二元一次方程。
（二）二元一次方程组
1.概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如：也是二元一次方程组。
2.二元一次方程组的一般形式为：
3.如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们也组成一个二元一次方程组。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。
二元一次方程组解的情况：
（1）当时，方程组有唯一的一组解；
（2）当时，方程组无解；
（3）当时，方程组有无数组解。
5.注意：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成：的形式；
（2）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应该把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解。
（三）消元—解二元一次方程组
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想。
2.代入消元法
（1）定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法。
（2）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②代入；③解方程；④求值；⑤联立。
（3）代入消元法的技巧：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变形比较简便。
3.用加减消元法解二元一次方程组
（1）定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。
（2）加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②加减；③解方程；④求值；⑤联立。
（3）加减法的技巧：
①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元；
②当方程组的两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数。
③当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解。
考点04 三元一次方程组的解法及方程组的应用
（一）三元一次方程组
1.三元一次方程：含有3个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作三元一次方程。
2.三元一次方程组：总共含有3个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，一般有3个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。例如：是一个三元一次方程组。
3.三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的3个未知数的值，叫作三元一次方程的解，和二元一次方程一样也有无数个解。
4.三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的3个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解。（注意：三元一次方程组的解是3个数，将这3个数代入每个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解）
（二）三元一次方程组的解法
1.思路：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。
2.步骤：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的3个未知数的值用“{”联立写在一起。
（三）方程组的实际应用
1.列方程组解应用题的基本思路：列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；
（3）方程两边的数值要相等。
2.列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。
3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系；
（2）设未知数：一般求什么，就设什么为；
（3）找等量关系；
（4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；
（5）解：解所列方程组，求出未知数的值；
（6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际；
（7）答：写出答案。
4.列二元一次方程组解应用题的常见类型
（1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；
（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量；
（4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=；
（5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。
考点05 不等式
（一）不等式
1.一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；
3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；
4.不等式解集的表示方法：
（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；
（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。
①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；②确定方向：对边界点而言，当或时，向右画；当或时，向左画。
（二）不等式的性质
1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考点06 一元一次不等式（组）及其应用
（一）一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。
2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：
（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；
（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向。
（二）一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号；
②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；
③移项：过了不等号的项要变号；
④合并同类项：防指计算错误；
⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。
（三）一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）
2.解一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。
（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。
（3）一元一次不等式组的解法：
第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
3.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答。