2022-2023学年江西省南昌市第十中学高三下学期第一次模拟数学（理科）试题含解析

2022-2023学年高三下学期第一次模拟
数学试题（理科）
说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注 意 事 项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I卷(选择题)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为　　
附：第6行至第9行的随机数表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
A. 3 B. 19 C. 38 D. 20
4．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]上的大致图象，则该函数是(    )
A. B. C. D.
5．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 9
6．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.

7. 若，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 4

8. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
9. 已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ）
[附：若，则，
．]
A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.3413
10. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，曲线C为函数y=sinx (0≤x≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n-v=f(m)，则下列说法中正确的是(    )
A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数
B. f(m)恰有2个零点
C. f(m)的最小值为-2
D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称
12. 已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②关于直线对称；③；④中一定成立的是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为________.
14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．
15. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.
16. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为D1C1，B1C1的中点，G为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是           .
①G在AB上运动时，存在某个位置，使得MG与A1D所成角为60°；
②G在AB上运动时，MG与CC1所成角的最大正弦值为53；
③G在AA1上运动且AG=13GA1时，过G，M，N三点的平面截正方体所得多边形的周长为85+22；
④G在CC1上运动时(G不与C1重合)，若点G，M，N，C1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和T1000．






18. 在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点满足．
（1）证明：GF平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．






19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的.调查结果显示，男生中有的人喜欢课外阅读，女生中有的人喜欢课外阅读．
(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;
(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?
附：
P(K2⩾k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．





20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.
（1）以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，其中，为的导函数.
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.












（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]）
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为（t为参数）.
（1）求的普通方程并指出它的轨迹；
（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段的长.






[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若，，求的最大值.
























2022-2023学年高三下学期第一次模拟
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据集合表示纵坐标为1的点集，集合表示横坐标为0的点集，
所以两者交集为，
故选：B.
2. 若复数，则（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【详解】因为复数，所以．故选：B．
3. 总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为　　
附：第6行至第9行的随机数表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
A. 3 B. 19 C. 38 D. 20
【答案】B
【详解】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点，则这四个数为：41、48、28，19，故选：B．
4.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]上的大致图象，则该函数是(    )
A. y=-x3+3xx2+1 B. y=x3-xx2+1 C. y=2cosxx2+1 D. y=2sinxx2+1
【答案】A 解：对于B，y=x3-xx2+1，当x=1时，y=0，与图象不符合，故B错误；
对于C，y=2cosxx2+1，当x=0时，y=2，与图象不符合，故C错误；
对于D，y=2sinxx2+1，当x=3时，y=2sin332+1=2sin310>0，与图象不符合，故D错误．
故选A．
5. 抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 9
【答案】A
【详解】如图，
设抛物线的准线为，过作于，过作于，因为，所以当，，三点共线时，
取得最小值，故的最小值为．故选:A.
6. 2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，
则，解得：，
则火箭发射时的声强为，将其代入中，得：
，故火箭发射时的声强级约为.故选：B
7. 若，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 4
【答案】A
【详解】解：因为，
所以．
故选：A.
8. 一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】D
【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，
如图，故其体积，
故选：D．

9. 已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ）
[附：若，则，
．]
A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.3413
【答案】A
【详解】使在R上单调递增的充要条件是，即，故.
由于随机变量，则，即，即，.
故，
，
所以．故选：A．
10. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得
，
即，
∴椭圆离心率，故选：A．
11. 如图，曲线C为函数y=sinx (0≤x≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n-v=f(m)，则下列说法中正确的是(    )
A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数 B. f(m)恰有2个零点
C. f(m)的最小值为-2 D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称
【答案】B 
【解答】解：由题意得：n=sinm,v=sinu=sin5π2-2m=cos2m，
所以fm=n-v=sinm-cos2m=2sin2m+sinm-1，
由0≤m≤5π20≤5π2-2m≤5π2得0≤m≤5π4，
令t=sinm，则y=2t2+t-1，因为t=sinm在(π2,π)上递减，y=2t2+t-1在0,1上递增，所以f(m)在区间(π2,π)上是减函数，故A错误；
令fm=2sin2m+sinm-1=0，得sinm=12或sinm=-1，解得m=π6或m=5π6，故B正确；
 因为y=2t2+t-1=2t+142-98,t∈[-22,1]，所以f(m)的最小值为-98，故C错误；
因为y=2t2+t-1=2t+142-98,t∈[-22,1]，关于t=-14对称，是轴对称图形，
所以f(m)不可能关于点(5π6,0)中心对称，故D错误；故选：B
12. 已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②关于直线对称；③；④中一定成立的是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【详解】对②：由，可得，则（与为常数），
令，则，所以，则，
故关于直线对称，②正确；
对①：∵为偶函数，则，∴，则为奇函数，
故，即，则是以4为周期的周期函数，
由，令，则，可得，
故，①正确；
由，令，则，即，
令，则，即，
故，则，
对③：由，即，则，
由于无法得出的值，③错误；
对④：，④正确；故选：D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为________.
【答案】
【详解】圆,化为标准方程可得
则圆心坐标为
因为,直线与直线垂直
由两条直线垂直的斜率关系可得直线的斜率为
由点斜式方程可得,化简即
故答案为:
14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．
【答案】
【详解】将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f，
从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为，共9个样本点，记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”，
则，共2个样本点，故，故答案为：
15. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.
【答案】10
【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中，
∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称，
∴，且，
故
故答案为：10.

16. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为D1C1，B1C1的中点，G为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是          
①G在AB上运动时，存在某个位置，使得MG与A1D所成角为60°；
②G在AB上运动时，MG与CC1所成角的最大正弦值为53；
③G在AA1上运动且AG=13GA1时，过G，M，N三点的平面截正方体所得多边形的周长为85+22；
④G在CC1上运动时(G不与C1重合)，若点G，M，N，C1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．
【答案】②④ 
解：对于①，连接AD1，BC1，
∵AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴AB⊥A1D；
∵四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1；
又AD1∩AB=A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥平面ABC1D1，
又MG⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥MG，即MG与A1D所成角恒为90°，①错误；

对于②，取CD中点P，连接MP，PG，
∵M，P分别为C1D1，CD中点，∴MP//CC1，又CC1⊥平面ABCD，∴MP⊥平面ABCD，
∴MG与CC1所成角即为∠PMG，sin∠PMG=PGMG，
当sin∠PMG最大时，cos∠PMG最小，
又cos∠PMG=MPMG=4MG，∴当MG最大时，cos∠PMG最小，
∵当G与A或B重合时，MG取得最大值42+22+42=6，
∴sin∠PMG的最大值为42+226=53，②正确；
对于③，延长NM，A1D1交于点S，连接GS交DD1于R；
延长MN，A1B1交于点T，连接GT交BB1于Q；
则过G，M，N三点的平面截正方体所得多边形即为五边形GQNMR；

取A1D1中点K，连接NK，
∵D1M//NK，∴SD1SK=D1MNK=12，∴SD1SA1=13，即D1RA1G=13，
同理可得：B1QA1G=13，∴D1R=B1Q=1；
∴GQ=GR=42+22=25，MR=NQ=12+22=5，MN=22+22=22，
∴五边形GQNMR的周长为65+22，③错误；

对于④，若点G，M，N，C1在同一球面上，则该球即为三棱锥G-C1MN的外接球，
∵△C1MN的外接圆半径r=12MN=2，
∴三棱锥G-C1MN外接球半径R=r2+(12C1G)2，
又C1G的最大值为CC1=4，∴Rmax=2+4=6，
∴该球表面积最大值为4π×6=24π，④正确．
故答案为：②④．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列an的前n项和为Sn，Sn=32n2-12n．
(1)求数列an的通项公式；
(2)数列bn=lgan，x表示不超过x的最大整数，求bn的前1000项和T1000．
【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=1，……2分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=32n2-12n-32n-12-12n-1=3n-2，
将n=1代入上式得a1=1，满足an，
所以an=3n-2；……6分
(2)因为a4=10，a34=100，a334=1000，a3334=10000，
所以bn=0,1≤n≤31,4≤n≤332,34≤n≤3333,334≤n≤1000,……10分
所以T1000=0×3+1×30+2×300+3×667=2631．……12分
18. 在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点满足．

（1）证明：GF平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【小问1详解】
取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中，且DC=EA，
而M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=EA，
∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，
又，N为EB中点，∴G为EN中点，又F为ED中点，
∴GF//DN，故GF//CM，
又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.……5分
【小问2详解】
在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．
∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，
又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，
此时AB=BC=，，为的中点，
连结，易得，易知HB，HC，HF两两垂直，
以为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，
∴，
则，
设为平面ABE的一个法向量，则，即，取，……7分
设为平面DBE的一个法向量，则，即，取，……9分
∴，……11分
∴二面角ABED的正弦值为.……12分
19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．
(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;
(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?
附：
P(K2⩾k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．

【答案】
解：(1)从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A，
则P(A)=(16)2×(13)2+(56)2×(23)2+C21C21⋅16×56×13×23=47108．……6分
(2)设被调查的男生人数为x，则被调查的女生人数为x2，则2×2列联表为

喜欢课外读物
不喜欢课外读物
合计
男生
x6
5x6
x
女生
x3
x6
x2
合计
x2
x
3x2
若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则K2≥3.841，
即K2=3x2(x6⋅x6-5x6⋅x3)2x⋅x2⋅x2⋅x=3x8≥3.841，则x≥3.841×83≈10.243，
又x2，x3，x6均为整数，所以被调查的男生至少有12人． ……12分

20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.
（1）以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在点，使得直线与斜率之积为定值.
【解析】
【小问1详解】
如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系
设为椭圆上一点，由题意可知，，
所以点轨迹是以，为焦点，长轴长 的椭圆，
因为，，所以，，
则，所以椭圆的标准方程为；……5分
【小问2详解】

由已知：直线过，设的方程为，由题意m必定是存在的，
联立两个方程得 ，消去得，
得，
设，，则，（*），

，
将（*）代入上式，可得上式，
要使为定值，则有， ，
又∵，∴，此时，
∴存在点，使得直线与斜率之积为定值；
综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值.……12分
21. 已知函数，其中，为的导函数.
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
【答案】（1）
（2）①;②详见解析
【解析】
【小问1详解】
时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.……3分
【小问2详解】
①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；……7分
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.……12分
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]）
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为（t为参数）.
（1）求的普通方程并指出它的轨迹；
（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段的长.
【答案】（1）答案见详解；
（2）.
【小问1详解】
由已知可得，，则，
又，所以，则
所以的普通方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆的上半圆以及其与轴的两个交点，.……5分
【小问2详解】
由曲线化为极坐标方程：，.
把代入可得，所以.
的参数方程为（t为参数），消去参数可得，
可得极坐标方程为，把代入方程可得，所以，所以.
又三点共线，且有.……10分
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若，，求的最大值.
【答案】（1） （2）
【小问1详解】
由于，
当时，，
当时，，
当时，
所以……5分
【小问2详解】
，即，
时等号成立，故，有最大值为.……10分