高中数学高考第2节 二项式定理 教案

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1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
(1)0≤r≤n时，Ceq \\al(r,n)与Ceq \\al(n－r,n)的关系是Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n)．
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为．
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Ceq \\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr中的a和b不能互换．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A．6 B．－6 C．24 D．－24
A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为Ceq \\al(2,4)＝6.故选A.]
2．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2y))eq \s\up10(5)的展开式中x3y2的系数是( )
A．5 B．－20 C．20 D．－5
A [二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2y))eq \s\up10(5)的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(eq \f(1,2)x)5－r(－2y)r.根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－r＝3，,r＝2，))解得r＝2.所以x3y2的系数是Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up10(3)×(－2)2＝5.故选A.]
3.eq \f(Ceq \\al(0,2 019)＋Ceq \\al(1,2 019)＋Ceq \\al(2,2 019)＋…＋Ceq \\al(2 019,2 019),Ceq \\al(0,2 020)＋Ceq \\al(2,2 020)＋Ceq \\al(4,2 020)＋…＋Ceq \\al(2 020,2 020))的值为( )
A．1 B．2
C．2 019 D．2 019×2 020
A [原式＝eq \f(22 019,22 020－1)＝eq \f(22 019,22 019)＝1.故选A.]
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
8 [令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]
考点1 二项式展开式的通项公式的应用
形如(a＋b)n的展开式问题
求二项展开式中的项的3种方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
(1)(2018·全国卷Ⅲ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))eq \s\up10(5)的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
(2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))eq \s\up10(5)的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．
(3)(2019·浙江高考)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
(1)C (2)－2 (3)16eq \r(2) 5 [(1)Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x2)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))eq \s\up10(r)＝Ceq \\al(r,5)2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为Ceq \\al(2,5)×22＝40.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))eq \s\up10(5)的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(ax2)5－r·x－eq \f(r,2)＝Ceq \\al(r,5)a5－r ·x10－eq \f(5,2)r，令10－eq \f(5,2)r＝5，得r＝2，所以Ceq \\al(2,5)a3＝－80，解得a＝－2.
(3)由题意，(eq \r(2)＋x)9的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)(eq \r(2))9－rxr(r＝0，1，2…9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝Ceq \\al(0,9)(eq \r(2))9＝16eq \r(2)；若展开式的系数为有理数，则r＝1，3，5，7，9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项．]
已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
[教师备选例题]
1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
B [1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋Ceq \\al(1,10)889＋…＋Ceq \\al(9,10)88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.]
1.在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．
160x6 [因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCeq \\al(k,5)x10－2k，
令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·Ceq \\al(2,5)x6＝160x6.]
2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))eq \s\up10(6)的展开式中常数项为eq \f(15,16)，则实数a的值为( )
A．±2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．±eq \f(1,2)
A [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))eq \s\up10(6)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(x2)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax)))eq \s\up10(k)＝Ceq \\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up10(k)x12－3k，
令12－3k＝0，得k＝4.
故Ceq \\al(4,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up10(4)＝eq \f(15,16)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up10(4)＝eq \f(1,16)，解得a＝±2，故选A.]
形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
(1)(2017·全国卷Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
(2)(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数是( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
(1)C (2)B [(1)因为(1＋x)6的通项为Ceq \\al(r,6)xr，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Ceq \\al(2,6)x2和eq \f(1,x2)·Ceq \\al(4,6)x4.
因为Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,6)＝2Ceq \\al(2,6)＝2×eq \f(6×5,2×1)＝30，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4＝[(1－eq \r(x))(1＋eq \r(x))]4(1－eq \r(x))2＝(1－x)4(1－2eq \r(x)＋x)．于是(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数为Ceq \\al(0,4)·1＋Ceq \\al(1,4)·(－1)1·1＝－3.]
求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
1.(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1))eq \s\up10(5)的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
D [能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取eq \f(1,x2)项得x2×eq \f(1,x2)×Ceq \\al(4,5)(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×Ceq \\al(5,5)＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.]
2．若(x2－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up10(10)的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
D [由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up10(10)的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)·x10－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(k)＝Ceq \\al(k,10)x10－2k，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up10(10)的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为Ceq \\al(3,10)，Ceq \\al(2,10)，因此由题意得Ceq \\al(3,10)－aCeq \\al(2,10)＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.]
形如(a＋b＋c)n的展开式问题
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
(1)将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)－4))eq \s\up10(3)展开后，常数项是________．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)＋y))eq \s\up10(6)的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)
(3)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．
(1)－160 (2)－120 (3)－240 [(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)－4))eq \s\up10(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))eq \s\up10(6)展开式的通项是Ceq \\al(k,6)(eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x))))eq \s\up10(k)＝(－2)k·Ceq \\al(k,6)x3－k.
令3－k＝0，得k＝3.
所以常数项是Ceq \\al(3,6)(－2)3＝－160.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)＋y))eq \s\up10(6)表示6个因式x2－eq \f(2,x)＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－eq \f(2,x)，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,3)×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.
(3)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展开式中x的系数a1＝Ceq \\al(4,5)(－1)4×(－2)5＋(－1)5Ceq \\al(4,5)(－2)4＝－240.]
二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
1.(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
C [法一：利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝Ceq \\al(2,5)(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq \\al(1,3)x4·x＝Ceq \\al(1,3)x5.
所以x5y2项的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30.故选C.
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)＝30.故选C.]
2．(x－eq \f(1,\r(3,x))－y)6的展开式中含xy的项的系数为( )
A．30 B．60 C．90 D．120
B [展开式中含xy的项来自Ceq \\al(1,6)(－y)1(x－eq \f(1,\r(3,x)))5，(x－eq \f(1,\r(3,x)))5展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCeq \\al(r,5)xeq \s\up5(5－eq \f(4,3)r)，令5－eq \f(4,3)r＝1⇒r＝3，
(x－eq \f(1,\r(3,x)))5展开式中x的系数为(－1)3Ceq \\al(3,5)，
所以(x－eq \f(1,\r(3,x))－y)6的展开式中含xy的项的系数为Ceq \\al(1,6)(－1)Ceq \\al(3,5)(－1)3＝60，故选B.]
考点2 二项式系数的和与各项的系数和问题
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
(1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))eq \s\up10(n)的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70
C．90 D．120
(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
(1)C (2)－3或1 [(1)令x＝1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))eq \s\up10(n)＝4n，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))eq \s\up10(n)的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以eq \f(4n,2n)＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(x))))eq \s\up10(r)＝Ceq \\al(r,5)3rx5－eq \f(3,2)r，令5－eq \f(3,2)r＝2，得r＝2，
所以x2的系数为Ceq \\al(2,5)32＝90，故选C.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，
∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
1.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960 C．1120 D．1680
C [因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(－2x)r＝Ceq \\al(r,8)(－2)rxr，所以T5＝Ceq \\al(4,8)(－2)4x4，其系数为Ceq \\al(4,8)(－2)4＝1120.]
2．在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7＝________．
－128 [在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b，则b＝Ceq \\al(2,4)－Ceq \\al(1,4)＝2.
在(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7中，
令x＝0得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0.
∴a1＋a2＋…＋a7＝0－27＝－128.]
3．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
3 [设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]
考点3 二项式系数的性质
二项式系数的最值问题
求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．
1.二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up10(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
D [根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up10(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up10(n)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,20)·(eq \r(3)x)20－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))eq \s\up10(r)＝(eq \r(3))20－r·Ceq \\al(r,20)·xeq \s\up15(20－eq \f(4r,3))，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项．]
2．(2019·南昌模拟)设m为正整数，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))eq \s\up10(2m)展开式的二项式系数的最大值为a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))eq \s\up10(2m＋1)展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝________．
7 [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))eq \s\up10(2m)展开式中二项式系数的最大值为a＝Ceq \\al(m,2m)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))eq \s\up10(2m＋1)展开式中二项式系数的最大值为b＝Ceq \\al(m＋1,2m＋1)，因为15a＝8b，所以15Ceq \\al(m,2m)＝8Ceq \\al(m＋1,2m＋1)，即15eq \f(（2m）！,m！m！)＝8eq \f(（2m＋1）！,m！（m＋1）！)，解得m＝7.]
3．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
Ceq \\al(7,15)(3x)7和Ceq \\al(8,15)(3x)8 [由已知得Ceq \\al(n－2,n)＋Ceq \\al(n－1,n)＋Ceq \\al(n,n)＝121，则eq \f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝Ceq \\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq \\al(8,15)(3x)8.]
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
项的系数的最值问题
二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1)) 从而解出k来，即得．
已知(eq \r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up10(2n)的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
－8 064 －15 360x4 [由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up10(10)的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝Ceq \\al(5,10)(2x)5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up10(5)＝－8 064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)·(2x)10－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up10(k)＝(－1)kCeq \\al(k,10)·210－k·x10－2k，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(k,10)·210－k≥Ceq \\al(k－1,10)·210－k＋1，,Ceq \\al(k,10)·210－k≥Ceq \\al(k＋1,10)·210－k－1，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(k,10)≥2Ceq \\al(k－1,10)，,2Ceq \\al(k,10)≥Ceq \\al(k＋1,10)，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(11－k≥2k，,2（k＋1）≥10－k)) 解得eq \f(8,3)≤k≤eq \f(11,3).
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－Ceq \\al(3,10)·27·x4＝－15 360x4.]
展开式中项的系数一般不同于二项式系数，求解时务必分清．
[教师备选例题]
已知(xeq \s\up15(\f(2,3))＋3x2)n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解] (1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T3＝Ceq \\al(2,5)(xeq \s\up15(\f(2,3)))3·(3x2)2＝90x6，
T4＝Ceq \\al(3,5)(xeq \s\up15(\f(2,3)))2·(3x2)3＝270xeq \s\up15(\f(22,3)).
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(xeq \s\up15(\f(2,3)))5－r·(3x2)r＝Ceq \\al(r,5)·3r·xeq \s\up15(eq \f(10 ＋ 4r,3))，
故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(r,5)·3r≥Ceq \\al(r－1,5)·3r－1，,Ceq \\al(r,5)·3r≥Ceq \\al(r＋1,5)·3r＋1，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,r)≥\f(1,6－r).,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))
解得eq \f(7,2)≤r≤eq \f(9,2).因为r∈N，
所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T5＝Ceq \\al(4,5)·xeq \s\up15(\f(2,3))·(3x2)4＝405xeq \s\up15(\f(26,3)).
若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x2)))eq \s\up10(n)的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为( )
A．210 B．10 C．462 D．252
A [∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9，10，11.
设常数项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)x3(n－r)x－2r＝Ceq \\al(r,n)x3n－5r，
则3n－5r＝0，其中n＝9，10，11，r∈N，
∴n＝10，r＝6，故不含x的项为T7＝Ceq \\al(6,10)＝210.]