高中数学高考第4节 合情推理与演绎推理 教案

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第四节　合情推理与演绎推理
[最新考纲]　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．


1．合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)
A．an＝3n－1　　 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
A　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]
3．如图(1)有面积关系：＝，则由图(2)有体积关系：＝________．

(1)　　　　　(2)
　[平面上的面积可类比到空间上的体积．
＝＝.]
4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n0，b>0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________．
(1)A　(2)－＝1　[(1)由题意结合所给的例子类比推理可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，x＝－1(舍)，即＝3，故选A.
(2)若点P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.]
　类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
[教师备选例题]
1．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
A　[如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，则AD⊥BC，从而S2＝＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝＋＋＝S＋S＋S.]
2．“求方程＋＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝＋，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2变形为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，
令u＝x2，v＝x＋2，
则x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)转化为u3＋u＞v3＋v.
设f(x)＝x3＋x，知f(x)在R上为增函数，
∴由f(u)＞f(v)，得u＞v.
不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化为x2＞x＋2，
解得x＜－1或x＞2.
∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
　在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到立体几何中，若正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________．
　[正方形ABCD的内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2，半径比＝，面积比为半径比的平方，＝，正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球的半径为R1，外接球的半径为R2，半径比＝，所以体积比是半径比的立方，＝.]
考点3　演绎推理
　(1)演绎推理的推证规则：演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
(2)假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．
　(1)(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
(2)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝________．
(1)A　(2)2 020　[(1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.
(2)因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，令b＝1，则＝f(1)＝2，所以＝＝…＝＝2.所以原式＝＝2 020.]
　(1)对于逻辑推理问题，求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准，推出矛盾，进而得出结论，如本例(1)．
(2)演绎推理是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系，如本例(2)给出的是抽象函数，解答该问题的关键是理解等式“f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)”的含义，在此基础上得出“＝f(1)＝2”这一数量关系．
　1.(2019·东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是________．
乙　[假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾．故答案是乙．]
2．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
　[由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin ＝.]