(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.7双曲线(含详解)

§8.7　双曲线考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　×　)(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(　√　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).(　√　)教材改编题1．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(5) B．5 C.eq \r(2) D．2答案　A解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).2．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对答案　B解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为eq \r(3)的双曲线方程________．答案　y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以)解析　取c＝eq \r(3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，可得a＝1，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，因此，符合条件的双曲线方程为y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一　双曲线的定义及应用例1　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆答案　B解析　如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝20)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1答案　A解析　因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq \r(4－a2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.2．经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．答案　eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1解析　设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.思维升华　求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2　(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则该双曲线的标准方程是(　　)A.eq \f(7x2,16)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,2)＝1C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(3y2,23)－eq \f(x2,23)＝1答案　C解析　因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，所以可设双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.(2)(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1答案　D解析　由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.题型三　双曲线的几何性质命题点1　渐近线例3　(1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为(　　)A.eq \f(y2,12)－eq \f(x2,4)＝1 B.eq \f(3y2,4)－eq \f(x2,4)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1答案　B解析　由题意知，b＝2，又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，解得a2＝eq \f(4,3)，所以双曲线的方程为eq \f(3y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A．4 B．8 C．16 D．32答案　B解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2　离心率例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)答案　A解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°)＝eq \r(7)m，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).高考改编已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为(　　)A.eq \r(3) B.eq \r(5)C.eq \r(7) D．7答案　C解析　点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2eq \r(7)a，又|F1F2|＝2c，∴2eq \r(7)a＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7).(2)(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)答案　A解析　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq \f(c,a)1，所以10，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3)C．2 D.eq \r(5)答案　A解析　令双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，则c＝eq \r(a2＋b2).如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即离心率e＝eq \r(2).思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3　(1)(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则(　　)A．双曲线C的焦点坐标为(0，±2)B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)xC．点(2,3)在双曲线C上D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点答案　BC解析　双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c－a＝1，离心率e＝eq \f(c,a)＝2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，所以C的焦点坐标为(±2,0)，A错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x，B正确；因为22－eq \f(32,3)＝1，所以点(2,3)在双曲线C上，C正确；直线mx－y－m＝0即y＝m(x－1)，恒过点(1,0)，当m＝±eq \r(3)时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，＋∞))答案　D解析　因为双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，为使双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，只需eq \f(b,a)>eq \f(2,3)，则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).课时精练1．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(5,12)))C．(±5,0) D．(0，±5)答案　A解析　将双曲线的方程化为标准形式为eq \f(x2,\f(1,9))－eq \f(y2,\f(1,16))＝1，所以c2＝eq \f(1,9)＋eq \f(1,16)＝eq \f(25,144)，所以c＝eq \f(5,12)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0)).2．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1C．x2－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1答案　D解析　由题意，得2eq \r(m)＝eq \r(m＋6)，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.3．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)A．11 B．9 C．5 D．3答案　B解析　方法一　依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二　根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3eq \r(3)，则C的离心率为(　　)A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(3),3)答案　A解析　双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点坐标为(eq \r(9＋b2)，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,3)x，即bx±3y＝0，∵双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3eq \r(3)，∴eq \f(b\r(9＋b2),\r(b2＋9))＝3eq \r(3)，解得b＝3eq \r(3)，∴c＝eq \r(9＋b2)＝eq \r(9＋3\r(3)2)＝6，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(6,3)＝2.5．(多选)已知双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则下列说法正确的是(　　)A．双曲线C的实轴长为8B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)xC．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为eq \f(9,4)答案　ABC解析　因为a2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x，故B正确；因为c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(16＋9)＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为eq \f(|15|,\r(32＋－42))＝3，故C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误．6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，P为C上一点，则以下说法正确的是(　　)A．C的实轴长为8 B．C的离心率为eq \f(5,3)C．|PF1|－|PF2|＝8 D．C的焦距为10答案　AD解析　由双曲线方程知，渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x，而一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，∴a＝4，故C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，∴双曲线实轴长为2a＝8，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(16＋9),4)＝eq \f(5,4)，由于P可能在C不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝8，焦距为2c＝2eq \r(a2＋b2)＝10.∴A，D正确，B，C错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．答案　y＝±eq \r(3)x解析　因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.8．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．答案　eq \f(32,15)解析　因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).9．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且eq \o(MF1,\s\up6(－→))·eq \o(MF2,\s\up6(－→))＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．解　(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵eq \o(MF1,\s\up6(－→))·eq \o(MF2,\s\up6(－→))＝0，∴MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)×2ch，∴h＝eq \f(2\r(5),5).即M点到x轴的距离为eq \f(2\r(5),5).(2)设双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－40)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．解　(1)由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(5),5)，① SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)×2c·b＝6，②a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，∴双曲线C的标准方程是eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.(2)由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．将y＝kx＋m与eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1联立，消去y，整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由4－5k2≠0且Δ>0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－5k2≠0，,80m2－5k2＋4>0，))④∴x1＋x2＝eq \f(10km,4－5k2)，x1x2＝－eq \f(5m2＋20,4－5k2)，∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5km,4－5k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(4m,4－5k2).由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，∴kAD＝eq \f(y0－2,x0)＝eq \f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝－eq \f(1,k)，化简得10k2＝8－9m，⑤由④⑤，得m0.由10k2＝8－9m>0，得m0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，则C的渐近线方程为________．答案　y＝±eq \r(3)x解析　根据双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，则|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cos∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)c))2,2×c×c)＝－eq \f(1,2).所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，则∠POF2＝eq \f(π,3)，所以tan∠POF2＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，则渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.15．(多选)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \o(EO,\s\up6(→))＋eq \o(EM,\s\up6(→))＋eq \o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则(　　)A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0B．双曲线C的离心率为eq \f(\r(13),2)C．|eq \o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面积为6答案　ABD解析　如图，设双曲线C的焦距为2c＝2eq \r(13)，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|＝c＝eq \r(13)，则P(0，b)，由eq \o(EO,\s\up6(→))＋eq \o(EM,\s\up6(→))＋eq \o(EN,\s\up6(→))＝0得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝eq \f(2,3)|OP|，即a＝eq \f(2,3)b，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，所以a＝2，b＝3，e＝eq \f(\r(13),2).双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|eq \o(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6.16．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.(1)解　设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，因为|AF|＝|BF|，所以eq \f(b2,a)＝a＋c，所以eq \f(c2－a2,a)＝a＋c，所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.(2)证明　设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.因为e＝2，故c＝2a，b＝eq \r(3)a，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).当∠BFA＝eq \f(π,2)时，由题意易得∠BAF＝eq \f(π,4)，此时∠BFA＝2∠BAF.当∠BFA≠eq \f(π,2)时，因为tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a)，所以tan 2∠BAF＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋a)))2)＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－y\o\al(2,0))＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3x\o\al(2,0)－a2)＝eq \f(2y0,x0＋a－3x0－a)＝－eq \f(y0,x0－2a)＝tan∠BFA，因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，故∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)