2022北京二中分校初二（下）期中数学试卷

这是一份2022北京二中分校初二（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京二中分校初二（下）期中
数 学
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，，则（ ）

A. 12 B. C. 6 D. 3
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1；1；1 B. 2；3；4 C. 1；；2 D. ；3；5
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=3，S2=11，则S3=（ ）

A. 16 B. 14 C. 8 D. 4
5. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为、、，那么第四个顶点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ）

A. B. C. 5 D. 4
9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若，则四边形EFGH为矩形；
②若，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 七巧板是一种古老的汉族传统智力游戏，由七块板组成，可拼成许多图形（1600种以上）．现在用边长为4的正方形制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部正方形的面积是（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
12. 已知三角形三边之长你能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
已知在△ABC中，，，，△ABC的面积是______．
13. 如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______．

14. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．

15. 如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号）

16. 把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．

17. 如图，点A在EF上，点G在BC上，矩形DEFG的边长分别是4和6，则正方形ABCD的边长为______．

18. 在正方形ABCD中，，点E、F分别为AD、AB上一点，且，连接BE、CF，则的最小值是______．

三、解答题（共54分）
19. 计算：（1）．
20. 计算：．
21. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．

求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求作的菱形．
（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵，
∴______=______
在□ABCD中，，
即
∴四边形ABEF为平行四边形
（______）（填推理的依据）
∵
∴四边形ABEF为菱形
（______）（填推理的依据）
22. 在△ABC中，，，，求BC的长．

23. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．

（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．
24. 如图，在四边形ABCD中，，，M、N分别为AC、AD的中点，连接BM，MN，BN．，AC平分．判断△BMN的形状并证明．

25. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
26. 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）：
（1）______；
（2）______；
（3）Rt△ABC中，，，，AB的长为______．
27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点，AE，BD交于点F．

（1）如图1，过点F作，交BC边于点H．求证：；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意在图2中补全图形；
②用等式表示线段AB、DE与CN之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．

（1）如图2，点B的坐标为（0，b）．
①若b=4，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为______．
（2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．

参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1. 【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式中不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=90°，，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，则OC=6．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，，
∵∠ADB=30°，
∴，
∴OC=6，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解
【详解】A.，不符题意；
B. ，不符题意；
C.，符合题意；
D. ，不符题意
故选 C
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键．
4. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现S1=BC2，S2=AB2，S3=AC2，再根据S1=3，S2=11，即可得到S3的值．
【详解】解：∵S1=3，S2=11，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，
∴BC2=3，AB2=11，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2=11-3=8，
∴S3=AC2=8，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是发现S1=BC2，S2=AB2，S3=AC2．
5. 【答案】B
【解析】
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，证出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的坐标求出OM和DM即可．
【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，

则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FNEM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，ABDC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（−1，0）、B（−2，−3）、C（2，−1），
∴CN＝AE＝2−1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3−1＝2，OM＝2＋1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
6. 【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
又∵OA=OC，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
7. 【答案】B
【解析】
【分析】由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图．设AC与BD交于点O

四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理．解题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分．
8. 【答案】A
【解析】
【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．
【详解】解：如图：连接OB

点B的坐标为，
，
又四边形OABC是矩形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
9. 【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正方形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴，，
同理，
∴EH=GF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故①错误；
②若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③若AC与BD互相垂直且相等，结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形，故③正确；
④若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故④错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解题的关键．
10. 【答案】B
【解析】
【分析】根据图形知：舞者头部正方形的边长为对角线长的，由正方形的边长可求出对角线的长，进而可求出舞者头部的面积．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴对角线长为4，
∴舞者头部正方形的边长为×4=，面积为（）2=2．
故选：B．
【点睛】本题考查七巧板、图形的拼剪，解题的关键是得到舞者头部正方形的边长为对角线长的，要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 【答案】x≥﹣1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．
【详解】解：∵代数式有意义
∴x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12. 【答案】
【解析】
【分析】把三角形三边的长代入公式进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形面积，正确理解题意是解题的关键．
13. 【答案】15°##15度
【解析】
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得出∠BDC、∠CDE的度数，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴，∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE-∠BDC=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
14. 【答案】x2−（x−3）2＝82
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
15. 【答案】①②
【解析】
【分析】由a和b都可断为平行四边形，①②③中至少有一个a或者b，所以在平行四边形的基础上判定正方形，根据需要加条件．
【详解】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
16. 【答案】4
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】解：如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，AC=16，AD=10，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
OB=OD=，
∴BD=2OD=12，
∴菱形的面积=×12×16=96，
图2正方形的面积=，
∴阴影的面积=-96=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17. 【答案】
【解析】
【分析】连接AG，根据同底同高判断正方形ABCD的面积等于△ADG的面积的2倍，矩形DEFG的面积等于△ADG的面积的2倍，从而得出正方形ABCD的面积等于矩形DEFG的面积，得出，然后代入数值即可求解．
【详解】解：连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴，AB=AD，
∴，
∴，
∵四边形DEFG是矩形，
∴，，
∴，
∴，即
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、面积法求线段的长度等知识，判断矩形DEFG的面积等于正方形ABCD的面积是解题的关键．
18. 【答案】
【解析】
【分析】如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，
∴，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠ADC=90°，
又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，
在Rt△中，，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共54分）
19. 【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的加减，正确二次根式的性质、合并二次根式法则是解题的关键．
20. 【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解记得．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．
21. 【答案】（1）作图见解析
（2）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可；
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
∵，
∴，
在□ABCD中，，
即
∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵
∴四边形ABEF为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案是：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
22. 【答案】
【解析】
【分析】过A作AD⊥BC于D，先根据含30度角的直角三角形的性质求出AD，然后根据勾股定理分别求出BD和CD即可得出答案．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，

∵∠B=30°，AB=10，
∴，
∴，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=5，
∴，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，添加辅助线：过A作AD⊥BC于D是解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）画一个底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）画一个边长为的正方形即可；
（3）根据定理进行作图即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求；

【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理与网格，熟知相关知识是解题的关键．
24. 【答案】△BMN是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】根据三角形的中位线的MN＝AD，根据直角三角形斜边上的中位线求出BM＝AC，从而得出BM=NM，根据角平分线的定义求出∠CAD＝∠BAC＝30°，进一步求出∠BMC＝60°，∠CMN＝30°，即可得出△BMN是等腰直角三角形．
【详解】解：△BMN是等腰直角三角形
理由：∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BM＝AC，
∵M、N分别为AC、CD的中点，
∴MN＝AD，MNAD
∵AC＝AD，
∴BM＝MN；
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BM＝AM＝AC，
∴∠BAC＝∠ABM＝30°，
∴∠BMC＝∠ABM＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，
∵MNAD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝60°＋30°＝90°，
即△BMN是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，能根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线性质求出BM＝MN是解此题的关键．
25. 【答案】（1）见解析；（2）EF=．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）仿照题意进行求解即可；
（3）先利用勾股定理求出然后仿照题意求解即可．
【小问1详解】
解：∵5+2＝3+2+2
＝()2+()2+2××
＝(+)2，
∴；
【小问2详解】
解：∵7-＝5+2-2
＝()2+()2-2××
＝(+)2，
∴；
【小问3详解】
解：∵在Rt△ABC中，，，
∴








【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，勾股定理，解题的关键是正确应用完全平方公式．
27. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，在AB上取一点G使得BG=BH，过点F作交AB于P， 只需要证明△FGB≌△FHB得到FH=FG，∠FGB=∠FHB，即可推出FG=FA，则AF=FH；
（2）①根据垂直平分线的作法步骤进行即可．②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q，根据正方形的性质，得到NA=NC，∠1=∠2，再根据垂直平分线的性质，得到NA=NE，进而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，在Rt△ADE中，，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，在AB上取一点G使得BG=BH，过点F作交AB于P，
∴∠PFH=∠FHC，
∵AE⊥FH，
∴∠AFP+∠PFH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，，∠FBG=∠FBH=45°，
∴∠APF=∠ABC=90°，
∴∠PAF+∠AFP=90°，
∴∠PAF=∠FHC，
在△FGB和△FHB中，
，
∴△FGB≌△FHB（SAS），
∴FH=FG，∠FGB=∠FHB，
∴∠FGA=∠FHC，
∴∠FGA=∠FAG，
∴FG=FA，
∴AF=FH；
【小问2详解】
解：①补全图形，如图所示．

②，理由如下
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA=NC，∠1=∠2．
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠3=∠4．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，，
在Rt△ADE中，，
又∵AB=AD，
∴

【点睛】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键．
28. 【答案】（1）①2；②7或-3
（2）m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤3．
【解析】
【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；
②由矩形的性质即可得出结果；
（2）由题意得出点M在直线y=2上，由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2，得出OF=OD=，分两种情况：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-2+，2）；得出m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（-1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2-，2）；得出m的取值范围为2-≤m≤3或-1≤m≤-2+．
【小问1详解】
解：（1）①∵b=4，
∴点B的坐标为（0，4），如图2-1所示：

∵点A的坐标为（1，2），
∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积=（4-2）×1=2，
故答案为：2；
②如图2-2所示：

由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积=|b-2|×1=5，
∴|b-2|=5，
∴b=7或b=-3，
故答案为：7或-3；
【小问2详解】
解：∵点M的坐标为（m，2），
∴点M在直线y=2上，
∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），
∴OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2，
∴OF=OD=，
分两种情况：如图3所示：


①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（-3，2）或（1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（-2+，2）或（2-，2）；
∴m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（3，2）或（-1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（2-，2）或（-2+，2）；
∴m的取值范围为2-≤m≤3或-1≤m≤-2+；
综上所述，m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数的解析式，新定义“相关矩形”等知识；本题综合性强，有一定难度．