高中数学高考5 4　平面向量的应用

这是一份高中数学高考5 4　平面向量的应用，共10页。试卷主要包含了向量坐标形式的几个重要结论，故选D，故填6等内容，欢迎下载使用。
5．4　平面向量的应用


1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量的符号形式及图形形式的重要结论
(1)向量的和与差的模：＝___________________________________________，
＝________________________．
(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：___________________________________________；
②O为△ABC外心的一个充要条件：___________________________________________；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：___________________________________________．
(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β∈R，使得＝α＋β，O为平面任意一点，且____________．
3．向量坐标形式的几个重要结论
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．
(1)长度或模
＝____________；＝_______________．
(2)夹角
cosθ＝____________＝__________________．
(3)位置关系
a∥b⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔____________．
a⊥b⇔____________⇔____________．

自查自纠：
2．(1)　
(2)①＋＋＝0　②＝＝
③·＝·＝·　(3)α＋β＝1
3．(1)　
(2)　
(3)a＝λb　x1y2－x2y1＝0　a·b＝0　x1x2＋y1y2＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有 (　　)
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b．故选A．
()在△ABC中， AB＝2AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝ (　　)
A．3 B．2 C． D．
解：因为＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，所以·＝2＋·＝－＝．故选D．
()已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点， ＝λ，且·＝－，则实数λ的取值为(　　)
A． B． C． D．
解：由平面向量的平行四边形法则，得＝λ＝λ(＋)，＝－＝λ(＋)－＝ (λ－1)＋λ，因为·＝－，所以λ(＋)·[(λ－1)＋λ]＝－，即λ[4(λ－1)＋λ]＝ －，解得λ＝．
另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．故选B．
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．
解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．
()已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解：设，夹角为α，则·＝||·||cosα≤||·||≤2(1＋2)＝6，所以最大值是6．故填6．


类型一　向量与平面几何
　(1))若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 (　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解：因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选C．

(2)()已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．
解法一：如图，因为OA＝OB＝2，AB＝2，所以∠A＝，所以·＝·(＋)

＝2＋·＝||2＋||·||cos
＝||2－||＝－≥－，
当且仅当||＝时取等号，
此时||＝＝＝．
所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－．
解法二：由已知∠AOB＝，以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则B(2，0)，A(－1，)，

令P(x，y)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x－2，y)＝λ(－3，)，
所以x＝－3λ＋2，y＝λ，即P(－3λ＋2，λ)．则＝(3λ－3，－λ)，＝(3λ－2，－λ)，·＝(3λ－3)·(3λ－2)＋(－λ)(－λ)＝12λ2－18λ＋6．
因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，·取最小值，此时＝，＝，与夹角的余弦值为＝＝－．故填－．

点　拨：
向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题．根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法．
　　
　(1)若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的 (　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：由已知得·＝0，所以AP⊥CB，所以点P的轨迹一定过△ABC的垂心．故选D．
(2)()如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝ (　　)

A． B．－
C． D．－
解：菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，所以·＝2×2×cos60°＝2，又因为＝＋＝＋，＝＝(－)，所以·＝·(－)＝(2＋·－ 2)＝＝－．
另解：连接AC，BD交于O，易知AC⊥BD，则·＝(＋)·＝·＝1×1× cos120°＝－．故选D．
类型二　向量与函数、三角函数
　(1) 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解：由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉0，ω>0，|φ|0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数 f(x＋1)是 (　　)

A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解：由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sinx，
所以f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数．故选B．
7．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．


解：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，||＝||＝， ∠APO＝∠BPO＝，则，的夹角为，所以·＝||||cos＝××＝．故填．
8．()在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．
解：设E(0，m)．依题意，①当F(0，m＋2)时，＝(1，m)，＝(－2，m＋2)，·＝m2＋2m－2＝(m＋1)2－3，最小值为－3；②当F(0，m－2)时，最小值仍为－3．故填－3．
9．已知平面向量a＝(4，5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα× (－4tanα)＝0，解得sinα＝．又因为α∈，
所以cosα＝，tanα＝＝，
所以a＝(4，4)，b＝(3，－3)，所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝＝5．
(2)cos＝cosαcos－sinαsin
＝×－×＝．
10．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝，n＝，m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．
解：(1)已知m⊥n，所以m·n＝·＝sinA－(cosA＋1)＝0，
即sinA－cosA＝1，即sin＝．
因为0