2022年河南省商丘市柘城实验中学中考数学四模试卷

这是一份2022年河南省商丘市柘城实验中学中考数学四模试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中最小的是
A．1B．C．2D．
2．（3分）化学元素钉是除铁、钻和镍以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉的原子半径约．将用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）如图所示的几何体是由6个相同的小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
5．（3分）把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如图所示，如果，那么的度数是
A．B．C．D．
6．（3分）甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为千米小时，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
7．（3分）定义运算：．例如：，则方程的根的情况是
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
8．（3分）如图，有4张2022年北京冬奥会体育图标卡片，它们除正面图案外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片图案相同的概率是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的周长为
A．11B．12C．13D．14
10．（3分）如图，正方形的4个顶点都在坐标轴上，，点从点出发，沿正方形的边顺时针运动，速度为，点从点出发，沿正方形的边逆时针运动，速度为，记，在正方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算： ．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和为 ．
13．（3分）请写出一个过点且随的增大而减小的函数的解析式 ．
14．（3分）如图，是的外接圆，是的直径，过点作的垂线，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，，．则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，使点落在点处，若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（5分）计算：．
17．（5分）化简：．
18．（9分）某校为了解七年级学生“一分钟跳绳”的成绩情况，从该校七年级900名学生中随机抽取了部分学生进行测试，并以测试数据为样本，绘制出部分频数、频率分布表如下：（第四组相关数据：140 155 145 157 142 147 148 144
请结合上表完成下列问题：
（1）该样本容量是 ，表中的 ， ；
（2）这个样本数据的中位数为 ；
（3）若七年级学生一分钟跳绳次数达标要求是：为不合格：为合格；为良好：为优秀，根据以上信息，请你估算该校七年级学生一分钟跳绳次数为不合格的人数并给这部分学生提出两条合理化建议．
19．（9分）2021年12月31日，位于郑州西区的“郑州眼“创意全媒体大屏一经亮相，就刷爆各类热搜和热榜，大厦东侧有两块竖型大屏，这是截至目前中国最大的“屏王”，小东想知道“郑州眼”有多高，如图所示，他和数学兴趣小组的同学们用无人机搭载自制的测高仪在距“郑州眼” 水平方向的处正上方处，测得“郑州眼”顶部的仰角为，底部的俯角为，已知，，，四个点在同一竖直平面内，请你用学到的数学知识帮小东求出“郑州眼” 的高（结果精确到，参考数据：，，．
20．（9分）小亮学习了圆周角定理的推论“圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现：
（1）①如图1，四边形是的内接四边形，若，则 ；
②如图2，在中，，分别平分和，，相交于点，，则 ；
（2）小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究：
如图3，四边形内接于，对角线是的直径，，点是弧的中点，求的度数（1）中的结论可直接用．
21．（9分）数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量的取值范围是 ；
（2）下表是与的几组对应值，则表中的值为 ；
（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质： ；
（4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
22．（9分）为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球、排球和足球，排球和足球个数相同，单价也相同．已知购买2个篮球和3个排球共需440元，购买4个篮球和5个足球共需800元．
（1）求每个篮球、排球和足球的售价；
（2）如果学校计划购买这三种球共100个，排球、足球总数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．
23．（10分）如图，抛物线经过点，，，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值的差；
（3）若点的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出的取值范围．
24．（10分）观察猜想
（1）如图1，在等边与等边中，绕点顺时针旋转度，则线段与线段的数量关系是 ，直线与直线相交所成较小角的度数是 ；
类比探究
（2）如图2，在与中，，，，其他条件不变，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明；
拓展应用
（3）如图3，在与中，，，，当，，三点共线时，直接写出的值．
2022年河南省商丘市柘城实验中学中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列各数中最小的是
A．1B．C．2D．
【分析】利用实数的大小比较判断．
【解答】解：最小的是．
故选：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较．
2．（3分）化学元素钉是除铁、钻和镍以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉的原子半径约．将用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图所示的几何体是由6个相同的小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
即为：．
故选：．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如图所示，如果，那么的度数是
A．B．C．D．
【分析】由条件求出的度数，由三角形内接和定理求出，由平行线的性质即可求出．
【解答】解：
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平行线的性质，等腰直角三角形的性质．
6．（3分）甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为千米小时，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据告诉公路开通前后长途客车平均车速间的关系，可得出新修的高速公路开通后的平均速度为千米小时，利用时间路程速度，结合新修的高速公路开通后时间比原来缩短了30分钟，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，且原来的平均车速为千米小时，
新修的高速公路开通后的平均速度为千米小时．
根据题意得：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（3分）定义运算：．例如：，则方程的根的情况是
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【分析】利用新定义得出方程，再利用根的判别式的意义确定出方程解的情况即可．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
△
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．（3分）如图，有4张2022年北京冬奥会体育图标卡片，它们除正面图案外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片图案相同的概率是
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把4张2022年北京冬奥会体育图标卡片分别记为、、、，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有4种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为，
故选：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的周长为
A．11B．12C．13D．14
【分析】先根据作图得平分，再根据平行四边形的性质求解．
【解答】解：由作图得：平分，
，
在平行四边形中，有，，，
，
，
的周长为：，
故选：．
【点评】本题考查了作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形的4个顶点都在坐标轴上，，点从点出发，沿正方形的边顺时针运动，速度为，点从点出发，沿正方形的边逆时针运动，速度为，记，在正方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据的长可计算正方形的周长，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过8秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出三次相遇一循环，再用的余数即可求出第100次相遇点的位置可作判断．
【解答】解：正方形的周长为，
设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，
根据题意得，
解得，
当时，、第一次相遇，此时相遇点在第三象限，
当时，、第二次相遇，此时相遇点在第三象限，
当时，、第三次相遇，此时相遇点在点处，
三次相遇一循环，
，
在第三象限．
故选：．
【点评】本题考查了平面直角坐标系上点坐标的规律，通过计算找出每一循环的相遇次数是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算： 5 ．
【分析】首先根据负数的绝对值是它的相反数，求出的值是多少；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出的值是多少；最后把它们相加，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
．
故答案为：5．
【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①，为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和为 2 ．
【分析】先解不等组，再求它们的整数解，最后求和．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以的整数解为：，0，1，2，
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集是解题的关键．
13．（3分）请写出一个过点且随的增大而减小的函数的解析式 （答案不唯一） ．
【分析】首先根据增减性确定函数的类型，然后由已知点的坐标代入求得解析式即可．
【解答】解：由于随增大而减小，则，取，
设一次函数的关系式为，
代入得：，
则一次函数的解析式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，关键是根据性质取得值，由待定系数法解得此题．
14．（3分）如图，是的外接圆，是的直径，过点作的垂线，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，，．则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】在中求出的长度，从而求出的长度，再根据直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，过点作，垂足为，根据已知易证，从而证明，进而可得，然后求出，在中求出，最后求出的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
过点作，垂足为，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，使点落在点处，若，则 4 ．
【分析】连接，作于，可计算得，，从而，进而得出是等边三角形，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
连接，作于，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（5分）计算：．
【分析】利用零指数幂的运算，特殊角的三角函数值，算术平方根计算．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的运算，特殊角的三角函数值，算术平方根．
17．（5分）化简：．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（9分）某校为了解七年级学生“一分钟跳绳”的成绩情况，从该校七年级900名学生中随机抽取了部分学生进行测试，并以测试数据为样本，绘制出部分频数、频率分布表如下：（第四组相关数据：140 155 145 157 142 147 148 144
请结合上表完成下列问题：
（1）该样本容量是 60 ，表中的 ， ；
（2）这个样本数据的中位数为 ；
（3）若七年级学生一分钟跳绳次数达标要求是：为不合格：为合格；为良好：为优秀，根据以上信息，请你估算该校七年级学生一分钟跳绳次数为不合格的人数并给这部分学生提出两条合理化建议．
【分析】（1）利用第一组的频数和频率即可计算样本容量，用总数减去前5个小组的频数即可求出，利用第四组的频数计算频率即可；
（2）中位数是把所有数据从小到大排列起来位置处于中间的数，两个数时，取中间两数的平均数；
（3）计算不合格的人数，然后给出建议．
【解答】解：（1）样本容量为：，
，
．
故答案为：60，12，0.15；
（2）样本容量为60，
中位数是第30和第31个数的平均数，
故中位数在第四小组．
故答案为：第四小组的数据；
（3）（人，
答：该校七年级学生一分钟跳绳次数为不合格的人数为135人，
建议：1、掌握跳绳技巧；2、平时加强训练．
【点评】此题主要考查了概率，中位数，以及学生的识图能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解答．
19．（9分）2021年12月31日，位于郑州西区的“郑州眼“创意全媒体大屏一经亮相，就刷爆各类热搜和热榜，大厦东侧有两块竖型大屏，这是截至目前中国最大的“屏王”，小东想知道“郑州眼”有多高，如图所示，他和数学兴趣小组的同学们用无人机搭载自制的测高仪在距“郑州眼” 水平方向的处正上方处，测得“郑州眼”顶部的仰角为，底部的俯角为，已知，，，四个点在同一竖直平面内，请你用学到的数学知识帮小东求出“郑州眼” 的高（结果精确到，参考数据：，，．
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
“郑州眼” 的高约为78米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（9分）小亮学习了圆周角定理的推论“圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现：
（1）①如图1，四边形是的内接四边形，若，则 ；
②如图2，在中，，分别平分和，，相交于点，，则 ；
（2）小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究：
如图3，四边形内接于，对角线是的直径，，点是弧的中点，求的度数（1）中的结论可直接用．
【分析】（1）①是圆的内接四边形的外角，则，即可求解；
②利用外角的性质，证明，即可求解；
（2）证明是的外角平分线，是的平分线，即可求解．
【解答】解：（1）①是圆的内接四边形的外角，
，
故答案为：；
②设，，
在中，，即，
在中，，即，
即，
故答案为21；
（2），
，
，
即是的外角平分线，
点是的中点，
，
即是的平分线，
由（1）得，．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的内接四边形性质，外角的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．（9分）数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量的取值范围是 ；
（2）下表是与的几组对应值，则表中的值为 ；
（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质： ；
（4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案；
（4）根据图象，可得答案．
【解答】解：（1）当时，分母都不为0，
故答案为：；
（2）当时，，
故答案为：；
（3）画出函数的图象如图：
；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
（4）观察图象，时，的取值范围或．
【点评】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
22．（9分）为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球、排球和足球，排球和足球个数相同，单价也相同．已知购买2个篮球和3个排球共需440元，购买4个篮球和5个足球共需800元．
（1）求每个篮球、排球和足球的售价；
（2）如果学校计划购买这三种球共100个，排球、足球总数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设每个篮球的售价为元，每个排球的售价为元，则每个足球的售价为元，由题意：排球和足球个数相同，单价也相同．已知购买2个篮球和3个排球共需440元，购买4个篮球和5个足球共需800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买篮球个，则购买排球、足球总数为个，由题意：排球、足球总数不超过篮球个数的4倍，列出一元一次不等式，解得，设购买篮球、排球和足球的费用为元，再由题意得出关于的一次函数，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设每个篮球的售价为元，每个排球的售价为元，则每个足球的售价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：每个篮球的售价为100元，每个排球的售价为80元，每个足球的售价为80元；
（2）设购买篮球个，则购买排球、足球总数为个，
依题意，得：，
解得：，
设购买篮球、排球和足球的费用为元，
由题意得：，
随的增大而增大，
当时，的值最小，
此时，，
答：费用最少的购买方案为购买篮球20个、排球40个、足球40个，所需费用为8400元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）如图，抛物线经过点，，，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值的差；
（3）若点的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）将点代入，可求函数的解析式及顶点坐标；
（2）当时，的最大值为，最小值为0，即可求解；
（3）由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出的值．
【解答】解：（1）将点代入，
，
解得，
，
，
顶点为；
（2）当时，，
当时，的最大值为，最小值为0，
的最大值与最小值的差为；
（3）线段向上平移个单位得到线段，
，，
当在抛物线上时，，
解得，
时，线段与抛物线只有一个交点；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
当时，，
△，解得，
当时，线段与抛物线只有一个交点；
综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
24．（10分）观察猜想
（1）如图1，在等边与等边中，绕点顺时针旋转度，则线段与线段的数量关系是 ，直线与直线相交所成较小角的度数是 ；
类比探究
（2）如图2，在与中，，，，其他条件不变，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明；
拓展应用
（3）如图3，在与中，，，，当，，三点共线时，直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，延长交的延长线于点，交于点．证明，推出，，可得结论；
（2）如图2中，结论不成立．结论：，直线与直线相交所成较小角的度数是．证明，推出，，可得结论；
（3）分两种情形：如图中，当点落在上时．利用相似三角形的性质证明，再利用勾股定理求解．如图中，当点落在上时，同法可得．
【解答】解：（1）如图1中，延长交的延长线于点，交于点．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，直线与直线相交所成较小角的度数是．
故答案为：，．
（2）如图2中，结论不成立．结论：，直线与直线相交所成较小角的度数是．
理由：延长交于点，交于点．
，都是等边三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，直线与直线相交所成较小角的度数是；
（3）如图中，当点落在上时．
，，
，，
，，
，
，
，
如图中，当点落在上时，同法可得．
综上所述，的长为．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
组别
次数
频数（人数）
频率
第一组
3
0.05
第二组
6
0.10
第三组
15
0.25
第四组
9
第五组
15
0.25
第六组
0.20
0
2
4
5
0
1
3
4
4
3
2
组别
次数
频数（人数）
频率
第一组
3
0.05
第二组
6
0.10
第三组
15
0.25
第四组
9
第五组
15
0.25
第六组
0.20
0
2
4
5
0
1
3
4
4
3
2