【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题04 几何图形辅助线连接技巧（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第六篇 落实新课标要求的热点专题

专题04 几何图形辅助线连接技巧

1.（2022辽宁盘锦）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是_______．

【答案】

【解析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从而求得的面积．

如下图所示，设与交于点O，连接和，

∵点D为的中点，，

∴,，是的角平分线，是，

∴，

∴

∵，

∴ 是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∵

∵，

∴

∴，,

∴ ．

【点睛】考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键．

2.（2022山东烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．

【答案】

【解析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．

【详解】∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），

∴x＝4时，y＝0，

∴BC＝4，

作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，

∵3＝2FH，

∴FH＝，

∵∠ABC＝60°，

∴BF＝＝，

∵DE∥AB，

∴AB＝2BF＝，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．

3.（2022安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：

（1）________°；

（2）若，，则________．

【答案】    ①. 45    ②.

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，AB=AD，

∴∠ABE+∠AEB=90°，

∵FG⊥AG，

∴∠G=∠A=90°，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=FE，∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠EBA，

在△ABE和△GEF中，

，

∴△ABE≌△GEF（AAS），

∴AE=FG，AB=GE，

在正方形ABCD中，AB=AD

∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，

∴AE=DG=FG，

∴∠FDG=∠DFG=45°．

故填：45°．

（2）如图，作FH⊥CD于H，

∴∠FHD=90°

∴四边形DGFH是正方形，

∴DH=FH=DG=2，

∴AGFH,

∴，

∴DM=，MH=，

作MP⊥DF于P，

∵∠MDP=∠DMP=45°，

∴DP=MP，

∵DP2+MP2=DM2，

∴DP=MP=，

∴PF=

∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，

∴∠MFP=∠NFH，

∵∠MPF=∠NHF=90°，

∴△MPF∽△NHF,

∴，即，

∴NH=，

∴MN=MH+NH=+=．

故填： ．

【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．

4. （2022天津）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________．

【答案】

【解析】连接FB，作交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出FB为的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明，得出．

如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．

∵四边形是边长为2的菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

，

∵E为的中点，

∴，

∴，即点B为线段EG的中点，

又∵F为的中点，

∴FB为的中位线，

∴，，

∴，即是直角三角形，

∴．

在和中，

，‘

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键．

5. （2022辽宁盘锦）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．

（1）如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．

（2）如图2．若，完成以下问题：

①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；

②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．

【答案】（1）   

（2）①；②或；

【解析】【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；

（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；

②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．

【小问1详解】

解：过点C作CG⊥AB于G，如图，

∵，

∴，

∵，，

∴△EDF≌△CDG，

∴；

∵在中，，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：；

【小问2详解】

解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，

与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，

∴，

∴，

在中，，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴；

②如图，过点C作CG⊥AB于G，

与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，

∴，

∵，

当点F在点A、D之间时，有

∴，

与①同理，可证是等腰直角三角形，

∴；

当点D在点A、F之间时，如图：

∴，

与①同理，可证是等腰直角三角形，

∴；

综合上述，线段的长为或．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．

6.（2022湖北十堰）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；

（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．

【详解】（1）如图，连接，

，

则，

设，，

，

，

为的直径，

，

，

即，

，

，

，

，

，

，

，

为的半径，

是的切线；

（2）如图，连接，

是的切线，则，又，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形，

，

在中，，，

，

，

由（1）可得，

，

，

，

解得 ．

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

7.（2022广西百色）如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M．作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD ．

（1）求证：MC是⊙O的切线：

（2）若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】【分析】（1）连接得∠由平分∠得∠可知∠故得由得从而可得结论；

（2）证明△可求出过点作得△得从而求出进一步可求出

【详解】（1）连接如图，

∴

∴∠

∵平分∠，

∴∠

∴∠

∴AD//OC，

∴∠OCM=∠ADC，

∵，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCM=90°，

∴

∵是⊙O的半径，

∴MC是⊙O的切线

（2）∵

∴∠

∴∠

∵是⊙O的直径，

∴∠

∵∠

∴∠

∵∠

∴∠，

又∠，

∴△

∴

∵

∴

∴

∴

∴ (负值舍去)

过作于点

∵

∴

∴△

∴

∴

∴，

∴

∴

【点睛】本题考查了切线的判定，半径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，求锐角的正切值，正确作出辅助线是解答本题的关键．

8.（2022湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．

【答案】

【解析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．

【详解】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，

∵CE=BD=2，AB=AC=6，

∴AE=4，

∴，

∴BF=4，

∴，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，

又∵∠BDP=∠ADB，

∴△BDP∽△ADB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴△ABP的周长，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．