最全高中数学常用公式定理（113个知识点全归纳）

高中数学常用公式定理
1. 元素与集合的关系
,.
2.包含关系

3．集合A中有n个元素，则集合A的所有不同子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.
4. 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是 二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
5.解连续不等式常有以下转化形式：

6. 方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
零点存在性定理:
函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点. 即存在，使得，这个c也就是方程的根.
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得.
8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：
真值表 ：
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
9. 命题中常见结论的否定形式：
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（）个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，
成立
存在某，
不成立

或

且
对任何，
不成立
存在某，
成立

且

或
10.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ
注意：全称命题与存在命题的否定关系。
11.充要条件：
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
13.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
15.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
16.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
17. 函数的图象的对称性: ①函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
18．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
19.函数的图象的对称性
函数的图象关于直线对称.
20.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
21.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，
或,
则的周期T=2a；
22.分数指数幂 ：
(1)（，且）.
(2)（，且）.
23．根式的性质：
（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，.
24．有理指数幂的运算性质：
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
25.指数式与对数式的互化式：
.
26.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2) ;
(3).
27.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
29.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
30.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为
.
31.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为
或.
32.若m、n、p、q∈N，且，那么：当数列是等差数列时，有；当数列是等比数列时，有。
33. 弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；
扇形面积公式：；
34．三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tan=，符号法则:全STC.
35.同角三角函数的基本关系式 :
平方关系：，”1”的代换.商数关系:=，弦化切互化.
36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

３７.和角与差角公式：
;
;
.
(平方正弦公式);
.
注意：二化一(辅助角)公式=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
3８.二倍角公式 ：
.
.
.
注意:半角公式是：sin= cos=
tan===。
升幂公式是： 。
降幂公式是： 。
39. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是
40.三角函数的周期公式 :
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
41.正弦定理: .
42.余弦定理:
;
第一形式，;第二形式，cosB=
.
43.面积定理：
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
③；④；
⑤；⑥
44.三角形内角和定理 :
在△ABC中，有
.
△ABC 中： ， ，
45.平面向量运算性质：：
坐标运算：设，则
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.
46.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
坐标表示：设，则λ，
47. 平面向量的数量积:
定义：， .
运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
(4),
坐标运算:设 ,则
（５） a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
48.平面向量基本定理：
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
　　其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
49．两个向量平行的充要条件
坐标表示: ，则
三点共线.
50.两个非零向量垂直的充要条件
坐标表示: ，则
51.两向量的夹角公式: a=,b=则.
52.平面两点间的距离公式:
A，B则AB.
53.线段的定比分公式 ：
设，，是线段的分点, 且,是实数，则
则 。 中点坐标公式
54.三角形的重心坐标公式 ：
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
55.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）两个正数的平均值不等式是： (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）双向绝对值不等式：
左边：时取得等号。右边：时取得等号。
56.平均值定理用来求最值：
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
推广： 已知，则有
（1）若积是定值,则当最大时,最大；
当最小时,最小.
（2）若和是定值,则当最大时, 最小；
当最小时, 最大.
57.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
58.含有绝对值的不等式 ：
当a> 0时，有
.
或.
59.指数不等式与对数不等式
(1)当时：;
.
(2)当时：;

60.斜率公式 : 直线斜率的定义为:k= tan,
两点、则.
61. 同一坐标轴上两点距离公式：
62.直线的五种方程
（1）点斜式 : (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
63.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
64．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
65.点到直线的距离
(点,直线：).
两平行直线距离
66. 或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
67. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
68. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
69.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
70.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
; 其中.
.
注意:研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：
①代数法（判别式法）：Δ>0，=0，0的区间为增区间,使