冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系29.4 切线长定理完美版ppt课件

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复习回顾什么是切线长定理？
三角形内切圆及相关概念
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
作圆：使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC求作：和△ABC 的各边都相切的圆作法：1、作∠ B，∠ C 的平分线BM 和CN，交点为O2、过点O 作OD ⊥BC. 垂足为D.3、以O 为圆心，OD 为半径作圆O.
如图，点O是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC 的度数为(　　)A．130°　　B．100°　　C．50°　　 D．65°
由题意知BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB ) ＝ ×(180°－80°)＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
根据内心的确定方法可知，内心就是三角形三条内角平分线的交点．解决此类问题可以转化为三角形中求两条角平分线的夹角问题．
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)图中有几对相等的线段？(2) 若 AD=2，BE=3，CF=1，求△ABC 的周长.
(1)因为⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D， E，F， 所以AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 所以图中有3对相等的线段．(2)因为AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 所以△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC ＝2(AD＋BE＋CF ) ＝2×(2＋3＋1)＝12.
如图，在△ABC中，∠A=50°，它的内心为I. 求∠BIC 的度数.
因为I 是△ABC 的内心，所以⊙I 是△ABC 的内切圆，所以BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线．又因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝130°，所以∠IBC＋∠ICB＝65°，所以∠BIC＝180°－65°＝115°.
下列说法错误的是(　　)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
如图，⊙O是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的(　　)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点
如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，点O 是(　　)A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心
如图所示，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O 的半径r.
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解，还可以发现四边形OECD为正方形，则可利用切线长定理，用含r 的代数式表示AB 的长再求解．
方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC 中，AB＝ ＝5.∵S△ABC＝ S△COB＋ S△BOA＋ S△AOC，∴AC·BC＝BC·r ＋AB·r ＋AC·r ＝ (BC＋AB＋AC )·r.∴r＝ ＝1.
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，∴四边形OECD 是正方形．∴EC＝CD＝r.∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD ＝(AC－E C)＋(BC－CD ) ＝3－r＋4－r＝7－2r.又易知AB＝ ＝5，∴7－2r＝5，即r ＝1.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步(如图)，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是(　　)A. B．1 C．2 D．
已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)A. B. C. D .
如图，正三角形ABC 的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(　　)A．2 B．3 C. D．2
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是(　　)A. B. C. D.
如图，在△ABC 中，点I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D 和BC 交于点E. 求证：DI＝DB.
易错点：混淆外心与内心的概念.
如图，连接BI.∵点I 是△ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC. ∴∠ABI＝∠CBI.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠DAC 与∠DBC 均为DC 所对的圆周角，∴∠DAC＝∠DBC.∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠BID＝∠IBD.∴DI＝DB.
三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．
下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I 是△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中正确的有(　　)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图，在△ABC 中，∠A＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为(　　)A．114° B．122° C．123° D．132°
如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC，BC 分别相交于点E，F，则(　　)A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF
如图，以点O 为圆心的圆与△ABC 的三边分别交于点E， F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O 是 △ABC 的内心．
证明：如图，过点O 作OD⊥AB 于点D，OP⊥BC 于点P， OQ⊥AC 于点Q， 连接OE，OF，OG，OH，OM，ON. ∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ ON，∴△OEF ≌ △OGH ≌ △OMN. ∴OD＝OP＝OQ. ∴点O 是△ABC 的内心．
证明：(1)∵E 是△ABC 的内心， ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋ ∠DBC，∠DBC＝∠CAE， ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DB＝DE.
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为 △ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于D 点，连接BD 并延 长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE. (1)求证：DB＝DE； (2)求证：直线CF 为⊙O 的切线．
(2)如图，连接CD.∵∠DAB＝∠DAC，∴ . ∴BD＝CD.∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF.∴∠DBC＝∠DCB，∠DCF＝∠DFC.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝∠DCB＝∠DCF＝∠DFC＝45°.∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF.∴直线CF 是⊙O 的切线．
已知△ABC 的内切圆⊙O与AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F， 若 ，如图①. (1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)设AE 与DF 相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM 的长．
(1)△ABC 为等腰三角形．证明：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.∵四边形内角和为360°，∴∠EOF＋∠FCE＝180°，∠DOE＋∠DBE＝180°.∵ ，∴∠EOF＝∠DOE.∴∠FCE＝∠DBE. ∴AB＝AC.∴△ABC 为等腰三角形；
(2)连接OB，OC，OD，OF，如图所示． 易知在等腰三角形ABC 中，AE⊥BC，∴E 是BC 的中点，即BE＝CE.∵在Rt△AOF 和Rt△AOD 中，∴Rt△AOF ≌ Rt△AOD. ∴AF＝AD，同理Rt△COF ≌ Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD ≌ Rt△BOE，BD＝BE.∴BD＝CF，∴DF∥BC. ∴
内切圆：与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.