2023淄博四中高二上学期期末学情自测数学试题含解析

这是一份2023淄博四中高二上学期期末学情自测数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
淄博四中高202 级高二上学期学情自测
数学•试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等
2．圆关于直线x－y＋6=0对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，若，则x=（ ）
Α． B． C．－2 D．2
4．抛物线的焦点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知直线l：ax－y＋1=0与圆C：相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，直线：x－y＋2=0，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，，O为坐标原点，则当最小时，cos∠MFO=（ ）
A． B． C． D．
7．过圆O：内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A．x＋2y－4=0 B．x－2y＋4=0 C．x－2y－4=0 D．x＋2y＋4=0
8．如图，棱长为3的正方体ABCD－中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：（80）在左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，O是坐标原点，，，則椭圆的离心率是______．
16．已知△ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为D（0，2），斜边上中线CE所在直线方程为3x＋y－7=0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．根据调查，某学校开设了“街舞”、“国棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
为调查社团开展情况，学校社团管理都采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
18．如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，，，AD=2DC=2BC．

（1）求二面角A—CF—D的余弦值；
（2）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．
19．已知△ABC的顶点坐标分别为A（－3，0），，C（3，0）．圆M为△ABC的外接圆．
（1）求圆M的方程；
（2）直线l与圆M相切，求直线l与两坐标轴所围成的三角形面积最小时l的方程．
20．设抛物线C：（p>0），其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为s，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．
21．如图，在三棱锥P－ABC中，，平面PBC，AG=GC，PD=DA．

（1）求证：平面BDG⊥平面ABC
（2）若AB=BC=CP=2，求平面ABD与平面CBD的夹角大小．
22．已知双曲线E：（a，b>0）的左顶点为A（－2，0），点P（2，1）在渐近线上，过点P的直线交双曲线E的右支于B，C两点，直线AB，AC分别交直线OP于点M，N．
（1）求双曲线E的方程：（2）求证：O为MN的中点．
学情自测参考答案：
1．C
【解析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断．
【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确．
故选：C．
2．D
【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，即可写出圆的方程．
【详解】由圆的方程可得，圆心坐标（－2，12）半径为2，
由题意可得关与直线x－y＋6=0对称的圆的圆心为（－2，12）关于直线对称的点，半径为2，
设所求圆的圆心为（a，b），则，解得a=6，b=4，故圆的方程为，
故选：D．
3．【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，，且，所以，即，解得
故选：A．
4．C
【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标．
【详解】由可得，焦点在y轴的正半轴上，设坐标为，
则，解得，所以焦点坐标为．
故选：C．
5．C
【分析】将△ABC的面积表示出来即可求出最大值．
【详解】因为直线l：ax－y＋1=0恒过点（0，1）在圆内，所以直线与圆相交，
圆C: 的圆心C（1，0），r=2，所以△ABC的面积的最大值为：
．

故选：C．
6．A
【分析】由抛物线的定义可知，，设，垂足为N，，当M、F、N三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果．

【详解】由抛物线的定义可知，，设，垂足为N，∴，
当M、F、N三点共线时，最小，
∵抛物线C：，∴焦点F（1，0），∴，
设直线与x轴的交点为D，令y=0，得x=－2，即FD=2＋1=3，
在Rt△DNF中，cos∠MFO=cos∠NFD=．
故选：A．
7．A
【分析】设出P点坐标，求解出以OP为直径的圆M的方程，将圆M的方程与圆O的方程作差可得公共弦AB的方程，结合点在AB上可得点P的坐标满足的方程．
【详解】设，则以OP为直径的圆M：，即①
因为PA，PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以A，B在圆M上，所以AB是圆O与圆M的公共弦，又因为圆O：②，所以由①－②得直线AB的方程为：，
又点满足直线AB方程，所以，即x＋2y－4=0．
故选：A．
8．D
【解析】过F作F关于平面，的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为．
【详解】过F作F关于平面，的对称点，连接交平面于点．
可以证明此时的使得最小：任取（不含），此时．
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，

则，B（3，3，0），因为E，F分别为的三等分点，所以E（1，1，2），F（2，2，1），
又点F距平面的距离为1，所以，的最小值为．
故选：D
9．【答案】BC
【分析】根据条件先求解出m的值，然后逐项判断焦点位置、长轴长和短轴长的数量关系、离心率以及椭圆上的点到焦点的最大距离．
【详解】因为8