2022-2023学年福建省宁德市重点中学高三上学期一模考试数学试题（word版）

这是一份2022-2023学年福建省宁德市重点中学高三上学期一模考试数学试题（word版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁德市重点中学2022-2023学年高三上学期一模考试数  学  试  题考试时间：120 分钟     试卷满分：150 分 第I卷（选择题60分）一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知，则的虚部为（    ）A． B．2 C． D．2．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（    ）A． B．C． D． 设,则       A.             B.               C.                  D.4．中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有A．9种 B．24种 C．26种 D．30种5．已知数列的前项和为，且满足，若，则（    ）A．2               B．4  C．20 D．406．如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对上饶市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独塔空间主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线的函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ）A．，为奇函数B．，有最小值1C．，在上单调递增D．，在上单调递增7．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（    ）A．8 B．12 C． D．8．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（    ）              A．无症状感染者的极差大于 B．确诊病例的方差大于无症状感染者的方差C．实际新增感染者的平均数小于 D．实际新增感染者的第80百分位数为64110．已知函数在处取得极小值，与此极小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ）A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于点对称，则（    ）A． B．C． D．第II卷（非选择题共90分）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置13．已知向量，若，则_______．14．某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为________．15．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．16．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17题10分,18-22每题12分) 17．已知数列满足是公差为1的等差数列.(1)证明：是等比数列；(2)求的前项和.   18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知分别为内角的对边，是边的中点，，且______。(1)    求的值；(2)若的平分线交于点，求线段的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．      19．如图①在平行四边形ABCD中，，，，，将沿折起，使平面平面ABCE，得到图②所示几何体．(1)若M为BD的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．  20．甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）． 性别            人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010 今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635  21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距与短轴长相等，且过焦点垂直于轴的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，点为直线上(不在轴上)的一动点.①|AB|=，求直线AB的方程；②设直线PA，PB，PM的斜率分别为试探究：是否存在常数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.   22．已知函数.(1)求在的最小值；(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
宁德市重点中学2022-2023学年高三上学期一模考试答案及评分标准第I卷（选择题）一、单选题1．A2．B3. C4．B5．A6．D7．C8．D二、多选题9．AD10．ACD11．ACD12．BD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题13．已知向量，若，则_______．【答案】514．某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为________．【答案】2.115．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】16．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为________．四、解答题17．已知数列满足是公差为1的等差数列.(1)证明：是等比数列；(2)求的前项和.【答案】(1)答案见解析(2)，. 【分析】对于（1），证明常数即可；对于（2），由（1）可知，后可求得.【详解】（1）根据题意有，即，所以，·····························3分故，所以是首项为2，公比为2的等比数列.·····························5分（2）由（1）可知，，·····························6分所以，所以·····························7分.，其中.·····························10分18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答。问题：已知分别为内角的对边，是边的中点，，且______。求的值；(2)若的平分线交于点，求线段的长。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1) (2)【分析】（1）选①，在和中，应用余弦定理，由，求得结论；选②，由正弦定理化边为角，求得角，然后设，，在和中对角应用余弦定理列方程组求解；（2）由求得，再由角平分线定理求得后可得三角形周长．【详解】（1）解：选择①：设，则，在中，，····························2分在中，，····························3分∵，∴，即，所以，故．····························6分选择②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，····························3分设，，在中，，即（i），在中，，即（ii），联立（i）（ii）解得，，，即，．····························6分（2）解：由题意得，，∴，∴····························12分19．如图①在平行四边形ABCD中，，，，，将沿折起，使平面平面ABCE，得到图②所示几何体．(1)若M为BD的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）先证明平面，然后根据锥体体积公式求得.（2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC与平面ABCE所成锐二面角求得点的位置，再利用向量法求得直线EM与平面MAC所成角的正弦值.【详解】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，可得，，所以．·····························1分由图②知，平面平面，平面，平面平面，因为，所以平面，·····························3分因为M为BD的中点，所以．·····························5分（2）由（1）知EA，EC，ED三者两两垂直，以点E为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，，·····························6分设，，·····························7分,即，所以，设平面ACM的法向量为，所以，则，令，得，·····························9分设平面的法向量为，所以，·····························10分解得．此时的值为·····························12分20．甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）． 性别            人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010 今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635  【答案】(1)没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关(2)证明见解析 【分析】(1)依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表.(2)分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出E（X）与E（Y），通过E（X）＞E（Y）即可证明：P（A）＞P（B）．【详解】（1）因为，·····························4分且，所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关．·····························5分（2）因为小明参加各程序的结果相互不影响，所以，则．·····························6分Y的可能取值为0，1，2，3．，，，．随机变量Y的分布列：Y0123P                                       ····························9分．因为E（X）＞E（Y），所以，即，所以，·所以P（A）＞P（B）．····························12分21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距与短轴长相等，且过焦点垂直于轴的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，点为直线上(不在轴上)的一动点.①|AB|=，求直线AB的方程；②设直线PA，PB，PM的斜率分别为试探究：是否存在常数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，.【分析】（1）由题意布列关于，，的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）①由弦长的值求出直线的斜率；②分直线的斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线，，的斜率，由可得的值．【详解】（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的标准形式：；····························3分（2）（1）直线斜率不存在时，显然不符合题意，设直线的方程为····························4分····························6分 ，所以直线的方程为；····························7分 （2）（i）当斜率不存在时，设此时设；····························8分 （ii）当斜率存在时，设直线的方程为由（1）知····························10分 而综上：存在满足题意.····························12分 22．已知函数.(1)求在的最小值；(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.【答案】(1)答案见解析；(2)正，理由见解析 【分析】（1）由导数法求最值，对、、分类讨论即可；（2）由（1）得只有时方程有两个不同的解且可设设 ，则由列等式整理得，结合等差中项性质可变形整理得，令 ，由导数法讨论最值得，即可进一步证明【详解】（1）.···························1分 当 时， 在 单调递减， ；当 时， 在 单週递减， ；当 时， 时， 时， ， 所以 在 单週递减， 在 单调递增，····························5分 综上，当 时， ；当 时， .（2）值的符号为正，理由如下：由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合題意.····························6分 当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，则 ， 整理得····························7分 .····························9分 令 ， 则 ，令 ， 在 单调递增， .故 得证····························12分