2022-2023学年湖北省郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中等五校高二上学期11月联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中等五校高二上学期11月联考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据复数乘法运算化简可得.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：B
2．在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏.在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为，将数据分组整理后，列表如下：
从表中可以得出正确的结论为（ ）A．表中的值为B．估计观看比赛不低于场的人数是人
C．估计观看比赛场数的众数为D．估计观看比赛不高于场的人数是人
【答案】D
【分析】利用频率之和为可判断A选项的正误；
【详解】对于A选项，由频率之和为可得，解得，A选项错误；
对于B选项，估计观看比赛不低于场的人数人，B选项错误；
对于C选项，估计观看比赛场数的众数为，C选项错误；
对于D选项，估计观看比赛不高于场的人数是人，D选项正确.
故选：D.
3．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.
【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，
根据双曲定义可知，整理得，
代入整理得，求得；
∴．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.
4．孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列出不超过12的素数，结合孪生素数的定义列出组成孪生素数对的个数，进而利用古典概型的概率公式求解.
【详解】不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个，
任意取出不同的两个素数有：共10对，
又素数对为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有：共2对，
所以能够组成孪生素数的概率为.
故选：B
5．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，
对于A，，，，与不垂直，A不是；
对于B，，，，，B是；
对于C，，，，与不垂直，C不是；
对于D，，，，与不垂直，D不是.
故选：B
6．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.
【详解】设，则以为直径的圆，即①
因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，
所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，
所以由①②得直线的方程为：，
又点满足直线方程，所以，即.
故选：A.
7．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】由，当最小时求解.
【详解】解：如图所示：
设，，
连接，圆为：，
则，
则，
当点时，的最小值为，
所以，
故选：C
8．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C
【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
二、多选题
9．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若点在平面内，则必存在实数，使得
B．直线与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．存在实数、使得
【答案】BCD
【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；
对B：取的中点为，连接，如下所示：
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
则//，故直线所成的角即为或其补角；
在三角形中，，
，
由余弦定理可得：，
即直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对C：连接如下图所示：
在三角形中，，
，，
故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，
则.故C正确；
对D：记的中点为，连接，如下所示：
由B选项所证，//，又面面，故//面；
易知//，又面面，故//面，
又面，故平面//面，
又面，故可得//面，
故存在实数、使得，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.
10．正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ）
A．B．四棱锥外接球的表面积为
C．与底面所成的角为D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1
【答案】ABD
【分析】根据平面即可判断A,由底面，即可判断外接球的球心在上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,即为与底面所成角，根据几何法即可判断C,取的中点，连接，，，能证明面，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D．
【详解】
过作底面于，则为中点，
由于底面,所以,又平面,
故平面，平面，故,故A正确，
由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在上，设半径为,
则,又,解得,
故外接球的表面积为,故B正确，
过作底面于，则为中点，
则即为与底面所成角，
正四棱锥所有棱长为2，，，
，，故C错误，
取的中点，连接，，，
正四棱锥的所有棱长为2，为正三角形，
，，又，平面
所以面，
故当平面经过侧棱中点时，平面即为平面，
此时，
，
，
，故D正确．
故选：ABD
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
【答案】AC
【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
12．已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
【答案】AD
【分析】由圆心在中垂线上可知A正确；根据可求得范围，知B错误；
求得坐标后，代入圆的方程可表示出，结合范围可求得，知C错误；
将圆的方程整理为，由此可求得定点，知D正确.
【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确；
对于B，与轴交于两点，，解得：，
即且，B错误；
对于C，设在左侧，由得：，则，
设圆：，又，
，解得：，
且，，C错误；
对于D，由C可知，圆：，
即，，
令，解得：或，圆恒过定点或，D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．
【答案】
【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，
所以所求直线的倾斜角为，又过点，
所以所求直线的方程为．
故答案为：
14．数据的第63百分位数是，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】直接根据百分位数的定义计算得到答案.
【详解】，故数据的第63百分位数是第个数据为，故.
故答案为：
15．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【分析】求双曲线的渐近线方程转化为求，利用和双曲线的两条渐近线关于对称，可得，即可求出答案.
【详解】因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
16．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是___________.
【答案】##
【分析】连接，利用勾股定理证得，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解：连接，
∵平面，平面，∴，
已知，，则，∴，
∵，∴，
又因为底面是平行四边形，所以底面是矩形，
以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)直线的方程为或或
【分析】（1）由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解；
（2）由，可得或，进而有或，显然直线斜率存在，设直线，由点到直线的距离公式求出的值即可得答案.
【详解】（1）解：设弦的中点为，则有，
因为，所以直线，
所以直线的中垂线为，则圆心在直线上，且在直线上，
联立方程解得圆心， 则圆的半径为，
所以圆方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为，因为，
所以或，所以或，
显然直线斜率存在，所以设直线，则或，
解得或或，
故直线的方程为或或.
18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
（2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，
，，则，
所以第四盘棋甲赢的概率是.
（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，
甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，
则，，，
则有，
所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
19．如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过作，垂足为，连，，则，作，垂足为，证明平面，得到证明.
（2）以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，计算各点的坐标，计算两平面的法向量为，，再利用向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）过作，垂足为，连，，则，作，垂足为，
则，，，，
所以，即，又，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图所示：以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取得到法向量，
设平面的法向量为，则，
取得到法向量，
平面与平面夹角的平面角为锐角，设平面与平面夹角为，
则.
20．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
【答案】(1)2
(2)．
【分析】（1）由双曲线的性质知，，利用化简可得双曲线的离心率；
（2）当时，双曲线的方程为，设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值．
【详解】（1）由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率．
（2）当时，，．∴双曲线的方程为，．
由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为．
联立消去并整理，得．
设，，则，，
∴．
又∵，线段的中点的坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为．令，得，
∴点的坐标为，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．
21．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）过作于， 利用面面垂直的性质定理可知平面，进而可知，又由已知可知，再利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得；
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即，再利用向量夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
又平面，平面，，
又，平面，
平面，.
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，
分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
， ，，
，解得，，
设，则，故，
，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：本题考查线线垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
22．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，
【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可；
（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可.
【详解】（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可.
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
观看人数占调查人数的百分比
2%
2%
4%
6%
m%
12%
8%
10%
12%
16%
12%
10%