数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（北京专用）

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绝密★考试结束前2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数z在复平面内对应点是，则（    ）A． B． C． D．2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．3．在的展开式中，的系数是(    )A．4 B．5 C．－5 D．－44．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ）A． B． C． D．5．在四个正方体中，均在所在棱的中点，过作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面不垂直的是A． B．C． D．6．若函数在上存在两个零点，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．7．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（    ）A． B．C． D．8．已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（    ）A． B． C． D．10．阻滞增长模型是描述自然界中生物种群数量增长的一种常见模型，其表达式为，其中为初始时刻的种群数量，为自然条件所能容纳的最大种群数量，为从初始时刻起经历个单位时间后的种群数量，为初始时刻种群数量增长率.某高中生物研究小组进行草履虫种群数量增长实验，初始时刻在培养液中放入了5个大草履虫，2天后观测到培养液中草履虫数量在100个左右.若大草履虫初始时刻的种群数量增长率，用阻滞增长模型估计这培养液中能容纳的大草履虫最大种群数量为（    ）（参考数据，，，）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为______．12．设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为___________.13．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容触”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为_________种.14．在中，是边上的高，且，又满足，，则的长为________.15．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：①曲线关于轴对称；②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；④与圆始终有两个交点.其中，所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(1)确定的解析式；(2)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③；的图象经过点.17．（14分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面，，，是线段上异于点，的动点.(1)当是线段的中点时，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)当二面角的余弦值为时，求的值.18．（13分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；(2)用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．19．（15分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：当时，；(3)若对恒成立，求实数k的最大值．20．（15分）已知椭圆，焦距为2，为椭圆的左焦点，若椭圆上的点到的距离的最大值是最小值的3倍.(1)求椭圆的方程；(2)不平行于坐标轴的直线过右焦点与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.21．（15分）已知数列为无穷递增数列，且．定义：数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）(1)若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；(2)若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；(3)若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．