2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】结合复数的运算法则和模长公式即可求解.
【详解】∵，∴．
故选：B
2．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3．设为等差数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
4．如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.
【详解】解：，
，
，
，
故选：A
5．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
6．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.
【详解】解：因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
7．过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，其中为线段的中点，线段的长为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设、、，利用点差法，化简可得，结合已知条件可得，将其代入上式化简可求得结果.
【详解】设、、，
由题意得，，
两式相减，得，
因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．
因为，直线的倾斜角为，，
易知点在第二象限，则，，
所以，所以，得，
所以，即，所以．
故选：D.
8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，
设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可.
【详解】由题意，，，
设上的切点分别为，则，
由得，
∴，即J与E重合，又x轴，故，同理可得.
设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则或，即或，则，
∵，则，
当时，；当，.
综上， 的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80％
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
【答案】ABD
【分析】特例法否定选项A；比较两指数极差判断选项B；读图判断选项CD.
【详解】选项A：第8天比第7天的复工指数和复产指数均低.判断错误；
选项B：这11天期间，两指数的最大值相近，但复工指数比复产指数的最小值低得多，
所以复工指数的极差大于复产指数的极差. 判断错误；
选项C：第3天至第11天复工复产指数均超过80％. 判断正确；
选项D：第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量.判断错误.
故选：ABD
10．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．已知圆，直线，()．则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C．圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点
【答案】ACD
【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.
【详解】直线可化为：，
由可得，故直线恒过定点，故A正确.
当时，直线，圆心到该直线的距离为，
因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.
因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，
故，故，故C正确.
当时，直线，设，
则以为直径的圆的方程为，
而圆，故的直线方程为，
整理得到，由可得，
故直线经过点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.
12．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率
【答案】BCD
【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.
【详解】先求双曲线上一点的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：
又有，化简即可得切线方程为： .
不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，
是切线与渐近线在第一象限的交点，
是切线与渐近线在第四象限的交点,
双曲线的渐近线方程是，
联立：，解得：，
联立：，解得：，
则，
又因为，所以，即，A错误；
由，
可知是的中点，所以，B正确；
易知点的坐标为，
则，
当点在顶点时，仍然满足，C正确；
因为，所以，，
因为，则，解得，即，
代入，得，
所以
，
，
所以，
所以，，所以离心率，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.
三、填空题
13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
14．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.
【答案】28
【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.
【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，
即有，则，因此，即，有，
于是得数列的通项为，，由得：，
所以数列的第10项是数列的第28项.
故答案为：28
15．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．
【答案】
【分析】理解题意，根据抛物线有关知识求解
【详解】设抛物线的方程为，则．
设，因为，所以，所以，
所以，所以，故其焦径比．
故答案为：
16．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】先由余弦定理求出，从而得到，确定BC的中点E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，再证明出为AD的中点，N为的中点，即EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，从而确定当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.
【详解】因为，由余弦定理得：
，
因为，由勾股定理逆定理得：，
直四棱柱中，底面为平行四边形，
故⊥CD，
点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故BC为直径，
取BC的中点E，则E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，
设与AD相交于点M，与相交于点N，连接EM，ED，
则EM=ED
因为，故，，
故三角形DEM为等边三角形，，
即为AD的中点，同理可得：N为的中点，
连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，
显然，当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，
假如点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，
如图1，点P与点N重合，连接OC，设，则OE=2-R，，
由勾股定理得：，即，解得：，
此时外接球表面积为；
如图2，当点P与或重合时，连接，
其中，
设，则，
由勾股定理得：，，
故，解得：，
此时外接球半径为，故外接球表面积为，
但因为点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，
综上：的取值范围是.
故答案为：
【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.
四、解答题
17．数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用求解即，注意验证时是否符合；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，所以当时，，
由此可得，所以，其中，
所以当时，，不符合上式，
所以.
（2）由（1）得，
，
，
可得，
所以．
18．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于分的学生为“良好”，成绩在分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？
【答案】(1)
(2)；初试时笔试成绩至少得到分才能直接进入复试
【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；
（2）先计算出人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再古典概型的公式即可求解；由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为，列方程组求出，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，由此可得，即可求解.
【详解】（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为；
（2）“良好”的学生频率为，“优秀”学生频率为；
由分层抽样可得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有3人，
将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，
则这5人中选2人的基本事件有：共10种，
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，
所以至少有一人是“优秀”的概率是
由第三、四、五组的人数成等差数列得
，①
又三，四，五组的频率和为，②
由①②可得
第五组人数频率为，
第四、五组人数的频率为，
故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得x分能进入面试，则，
即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到分才能直接进入复试．
19．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过原点，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得.
【详解】（1）抛物线的准线为，所以，
解得，所以抛物线的标准方程为.
（2）设，联立与，消去得，即；
由韦达定理有：，
因为以为直径的圆过原点，所以，
即，化简可得：，
代入韦达定理得：，解得或（舍去），
所以直线的方程为.
20．如图，平面，平面，，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由，可得平面，从而有平面平面，结合，面面平行的性质可得；
（Ⅱ）依题意，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，可得，，，，，利用法向量即可求出答案．
【详解】（Ⅰ）证：依题意，平面，平面，
∴平面，
又平面，，∴平面平面，
∴平面平面，平面平面，
∴；
（Ⅱ）解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，
，，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
因此有，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查线线平行的证明，考查向量法求线面角，属于中档题．
21．过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）结合图像，分别求得，，从而求得，由此双曲线Γ的标准方程可求；
（2）联立方程，由韦达定理得与，再由推得，由此得到关于的一个齐次方程，可求得离心率的范围，再由y1y21，所以，故，
又A，B在左支且l过F1，所以y1y2