2022-2023学年湖北省潜江市园林高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省潜江市园林高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省潜江市园林高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A2．已知椭圆的上焦点为，以点为圆心，且与一条坐标轴相切的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求出点，由题意知圆的半径为即可得圆的方程.【详解】由题意，椭圆的上焦点为在轴正半轴上，故所求圆只能是与轴相切，切点为原点，所以，可得圆的方程为：，即.故选：A3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．4．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（    ）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根据点差法求解即可.【详解】设，，则.所以，所以.故选：B5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知，，进而利用向量求解异面直线所成角即可.【详解】解：由题知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：C.6．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，又因为，则，从而得，又因为，所以.故选：B.7．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由题意可知，，整理得，则，故，因为，所以，所以，即．故选：C．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线定义可得，根据平行关系可知，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率.【详解】设，则点位于第四象限，由双曲线定义知：，；设过点且与平行的直线的倾斜角为，则，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故选：C. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．直线必过定点B．过点作圆的切线，切线方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1【答案】AB【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A；结合点在圆上求解切线判断B；分和讨论判断C；直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.【详解】解：对于A选项，，故直线过与的交点，所以，联立得，即直线必过定点，故正确；对于B选项，点在上，圆心为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故正确；对于C选项，经过点，倾斜角时，直线方程为，当时，直线方程为，故错误；对于D选项，令得，令得，所以直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故错误.故选：AB10．如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为45°，则（    ）A．B．与AC所成的角为60°C．D．当时，三棱锥的体积为定值【答案】BD【分析】对于A，由勾股定理可判断；对于B，由题可知，，，，．根据空间向量的数量积以及向量的夹角运算可判断；对于C，根据空间向量的线性运算可判断；对于D，由已知得点P在直线上．从而得直线上的点到平面的距离相等，由此可判断．【详解】解：对于A，∵，，∴，故A不正确；对于B，由题可知，，，，．∵，∴，∴与AC所成的角为60°，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，∵，∴点P在直线上．由于平面，∴直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．故选：BD．11．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（    ）A．若，则B．当n过时，光由所经过的路程为13C．射线n所在直线的斜率为k，则D．若，直线PT与C相切，则【答案】CD【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.【详解】对于A：若，则.因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：二者联立解得：.故A错误；对于B：光由所经过的路程为.故B错误；对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D：设直线PT的方程为.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正确故选：CD12．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（    ）A．周长的最小值为18B．四边形可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是D．的最小值为-1【答案】AC【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值.【详解】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确； B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误； C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.故选：AC． 三、填空题13．已知点，，直线，若直线与直线平行，则______．【答案】【分析】根据两点坐标求得直线的斜率，根据直线方程求得直线的斜率，根据平行的必要条件得到关于的方程，求得的值，然后检验点（或点）不在直线上，进而得到答案.【详解】直线的斜率为,直线的斜率为，由于直线与直线平行，所以，即，此时直线的方程为，整理得：，经检验点（或点）不在直线上，所以当且仅当时，直线与直线平行，故答案为：14．双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距为____________．【答案】【分析】根据渐近线方程可得的关系，然后根据焦点到渐近线的距离，结合点到直线的距离公式即可求得，从而求得，即可得到结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，且其一条渐近线方程为，所以由双曲线的对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等，取渐近线，焦点则，所以，，即所以焦距为故答案为:15．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：16．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程（如图所示）进行图案绘制.试求曲线围成的封闭图形的面积___________.【答案】【分析】先对分情况讨论，去掉绝对值，然后结合方程表示的图形求解面积.【详解】当时，方程可化为它表示圆心在，半径为的圆在第一象限的部分；当时，方程可化为它表示圆心在，半径为的圆在第四象限的部分；当时，方程可化为它表示圆心在，半径为的圆在第二象限的部分；当时，方程可化为它表示圆心在，半径为的圆在第三象限的部分；综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域.这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.所以总面积为.故答案为：. 四、解答题17．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【详解】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）．18．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．(1)求直线的方程；(2)求直线：关于直线的对称直线的方程．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.【详解】（1）选择条件：因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即．选择条件：因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．选择条件，因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．（2），解得，故，的交点坐标为，因为在直线：上，设关于对称的点为，则，解得，直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，所以：关于直线的对称直线的方程为．19．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.(1)证明：平面平面；(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，由题意，，又，故.又，故，所以四边形为平行四边形，则.由平面，故平面，又面，故平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，故设平面的法向量而，故，令，得设所求角的大小为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20．已知圆．(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，到直线的距离，因为圆被直线截得的弦长为8，所以，解得，故圆的直径为.（2）圆的一般方程为，令，，解得，所以定点的坐标为.联立解得或所以，因为，所以.又方程表示一个圆，所以，所以的取值范围是.21．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.(1)求抛物线方程和N点坐标；(2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.【答案】(1)，(2)证明见解析，定点 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.【详解】（1）设抛物线的标准方程为，，其焦点为则，∴所以抛物线的方程为.，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），联立方程得设两个交点，（，）.所以所以，即整理得，此时恒成立，此时直线l的方程为，可化为，从而直线过定点.22．已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题设可得、，结合三角形面积可得，由椭圆参数关系求a、b，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得，进而可得双曲线渐近线，假设，写出、l方程，联立求N坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A坐标，根据A在椭圆上求值.【详解】（1）由题设，且双曲线的渐近线为，当轴时，，又，△MON的面积为，所以，故，而，可得，所以双曲线的方程为.（2）对于椭圆有，而，则，不妨假设，则且l为，所以，又，，令，则，故，所以，而在椭圆上，则，整理得，综上，可得.