2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．观察图，点数所成数列的一个通项公式（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察为平方数数列.【详解】由题意，依次点数为1、4、9、16，为完全平方数，故.故选：B.2．若直线的倾斜角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由倾斜角与斜率的关系求解，【详解】由题意得，则，故选：A3．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（左、右顶点除外），若的周长为8，则（    ）A．1 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用椭圆的几何性质求解即可.【详解】因为是椭圆上一点，所以的周长，由椭圆方程得，又，解得，所以，故选：C4．圆与圆的公共点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】C【分析】判断两圆的位置关系即可得答案.【详解】解：因为圆变形为所以，圆的圆心为，半径为，圆变形为圆，所以，圆的圆心为，半径为，因为，所以，圆与圆相交，其公共点的个数为.故选：C5．设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出渐近线，由双曲线的对称性，不妨设，由列方程解出参数，求出，即可求面积.【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨设，由得，又，∴的面积.故选：A6．已知等比数列单调递增，且，，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式计算和即可求解.【详解】因为为等比数列且单调递增，所以解得（舍去）或，所以，故选：C7．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解.【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为，所以，所以边所在直线的方程为，即.又边上的中线所在直线方程为，由，解得， 所以.设，则线段的中点，则解得即，所以所在直线的方程为.故选：D8．已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆的性质可确定，且当为圆心到直线的距离时，取得最大值，由此可构造不等式解得的范围.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，，，，，，，当取得最小值，即为圆心到直线的距离时，取得最大值，存在点使得，则此时，则，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D. 二、多选题9．在同一直角坐标系下，直线与圆的位置可能为（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据圆心的位置可确定的正负，由此可确定直线斜率的正负，进而确定可能的图象.【详解】对于ABC，由圆的图象知圆心位于第一象限，，，直线斜率，则A正确，BC错误；对于D，由圆的图象知圆心位于第四象限，，，直线斜率，则D正确.故选：AD.10．已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【分析】由题知时，；时，；时，，进而根据题意求解即可得答案.【详解】解：因为的解集为，所以，对于数列，当时，；时，；时，，所以，数列的前项和为取得最小值时，或.故选：BC11．已知、分别是双曲线的左、右焦点，直线是双曲线的一条渐近线，关于直线对称的点为，以为直径的圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值可能为（    ）A． B． C． D．2【答案】ABC【分析】求出、到直线距离均为，求出且，则以为直径的圆与直线有公共点，得，即可构造齐次不等式，得出离心率范围.【详解】不妨设直线的方程，即，则到直线的距离，设与直线交于点，关于直线对称的点为，则为的中点，且，，又∵为的中点，故，且，∵以为直径的圆与直线有公共点，与直线的距离为，故，故，即.故选：ABC12．若对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”.（    ）A．至少存在一个等比数列不是“数列”B．至少存在两个常数列为“数列”C．若是“数列”，则也是“数列”D．对任意的，总是“数列”【答案】ABD【分析】对于A，若，然后根据“数列”的定义判断，对于B，由判断，对于C，举例判断，对于D，设，然后根据“数列”的定义判断.【详解】对于，若，则是等比数列，由，得，则不是“数列”.对于，由，得或1，所以至少存在两个常数列为“数列”.对于C，若，则是“数列”，令，设，则，故不是“数列”.对于D，设，由，得，所以对任意的总是“数列”.故选：ABD 三、填空题13．已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线：与直线：互相垂直，所以，解得，联立，解得直线和的交点坐标为，故答案为：14．法国数学家费马于1640年提出了猜想：是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，因为随着n的增大，迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学家欧拉算出，才证明费马的猜想是错误的.若数列满足，则满足的最小正整数_________.【答案】11【分析】将代入得到通项公式，然后解不等式即可.【详解】又故答案为：1115．已知实数，满足，则的取值范围为________．【答案】【分析】依题意可得，其中表示圆上的点与定点的距离的平方，求出圆心的坐标，即可求出，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得解.【详解】解：因为，又实数，满足，所以点在以为圆心，半径的圆上，又表示圆上的点与定点的距离的平方，因为，所以，即，所以，所以，所以，即.故答案为：16．已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值_________.【答案】-2【分析】设出椭圆的另一焦点，根据椭圆的几何性质，可得，转化为三点共线能取最小值的问题，再结合圆的几何性质，即可求解.【详解】解：椭圆方程为： ，，，，又圆方程可化为：，圆心坐标为，半径，设椭圆的右焦点为，则，当且仅当，，，共线时，取得等号，的最小值为，故答案为：. 四、解答题17．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0．(1)求直线的一般式方程；(2)若直线与直线平行，求m的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意设直线方程的截距式方程，将点代入计算即可；（2）由（1）知直线的斜率存在且不为0，所以利用两直线平行的性质求解出参数，注意讨论即可.【详解】（1）由题意设直线方程为：将点代入得：所以直线方程为：所以直线l的一般式方程为：（2）由（1）知直线l的斜率存在且不为0,所以若直线与直线平行则所以或当时，直线满足题意当时，直线与直线重合不满足题意所以18．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用基本量列方程求解即可；（2）由裂项相消法求和.【详解】（1）为等差数列，则，，.∴，故，故.（2），∴19．已知是双曲线上的两点．(1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程，然后根据即可求解；（2）根据点差法求解中点弦问题即可.【详解】（1）由题知：双曲线焦点在 轴上， ，所以右焦点为 ，当直线的斜率不存在时，直线为 ，此时设 ， ,,不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线为 ，，联立方程，消去 得： ，所以 ，因为 ，所以 解得 ，所以直线的方程为；（2）设，因为在双曲线上，所以，化简得：，所以，所以因为是中点，所以所以，即 ，所以直线的方程为，即20．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据椭圆的离心率可得，然后根据椭圆的短轴长即可求解；(2)根据（1）的方程，求出直线的方程，设出与直线平行的方程，当所设直线与椭圆相切时，的面积最大，将所设直线方程与椭圆方程联立，利用判别式等于零求出所设直线方程，在求出两平行线间的距离即可求解.【详解】（1）由题意可知：，所以，又因为短轴长为，所以，，所以椭圆C的方程.（2）由（1）可知：，则，直线的方程为，也即，设与直线平行的方程为，联立方程组，整理可得：，当直线与椭圆相切时，的面积最大，也即满足，解得：，因为直线的方程为，所以时，两平行线间距离最大，两平行线与之间的距离，所以面积的最大值为.21．在数列中，，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和和错位相减求解即可.【详解】（1）由题意可得，因为，所以，所以，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，设数列前项和为，数列前项和为，则①，②，①-②得，所以，又，所以.22．已知圆W经过三点．(1)求圆W的方程．(2)若经过点的直线与圆W相切，求直线的方程．(3)已知直线与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)直线经过定点，且该定点的坐标为 【分析】（1）设圆的一般方程，代入A，B，C三点坐标列出方程组，即可求得圆的方程；（2）由圆的方程可得圆心和半径，直线的斜率不存在时，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的方程为，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得直线的斜率，进而可得直线的方程；（3）当直线斜率不存在时，不满足；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与圆方程联立，得，由此利用判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件即可证明直线过定点．【详解】（1）设圆W的方程为，则，解得则圆W的方程为．（2）由（1）可知，圆W的圆心坐标为，半径为3．若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心W到直线的距离为，不符合题意．若直线的斜率存在，设直线的方程为，则圆心W到直线的距离为，解得，故直线的方程为．（3）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，则，整理得．又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．若直线的斜率存在，则设直线的方程为，联立方程组，整理得，则．，则，整理得，解得或（舍去）．当时，直线的方程为，此时直线经过点，不符合题意，故舍去．所以，故直线的方程为，即，经过定点．综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．