2023届安徽省九师联盟高三上学期11月质量检测数学试题（解析版）

这是一份2023届安徽省九师联盟高三上学期11月质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省九师联盟高三上学期11月质量检测数学试题 一、单选题1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数运算求得，进而求得对应点所在象限.【详解】因为，所以，即，所以，故z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，解绝对值不等式求得集合，由此求得.【详解】由，得或，所以；由，得或，所以或，从而．故选：C3．若，，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据三角函数值域的求法求得中的范围，解分式不等式求得中的范围，由此判断出充分、必要条件.【详解】对于：由，得，，所以，即；对于：由，得，故p是q的必要不充分条件．故选：B4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（    ）A．27π B． C． D．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为，所以，解得，故其表面积；故选：A．5．用一个平面去截正方体，如果截面是三角形，则截面三角形的形状不可能是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断.【详解】如图1，易知为正三角形，于是答案B,C,D都有可能，对A，如图2，若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设EF⊥FG，由正方体的性质可知：，，所以平面，而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，A错误.故选：A.6．若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（    ）A．个单位长度 B．个单位长度C．个单位长度 D．个单位长度【答案】D【分析】先求出函数的周期，然后根据函数解析式以及平移规则求解即可.【详解】由题意，得，解得，所以，其图象向左平移个单位长度，可得的图象，即为的图象，所以，解得，又，则；故选：D．7．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于 ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取的中点D，连接交于点E，连接DE，则 且，则为异面直线与所成的角或其补角．易求，，则，所以.故选：B．8．已知函数是定义域为R的偶函数为奇函数，当时，，若，则（    ）A．2 B．0 C．-3 D．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明 是周期为4的周期函数，计算出 和k，由周期性可得 ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，所以，所以，即，所以，故是以4为周期的周期函数；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以；故选：C． 二、多选题9．已知，，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系．【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，故 A错误，B正确；因为，，所以，所以故D错误，C正确．故选：BC．10．已知数列的前项和为，则（    ）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则【答案】AC【分析】利用与的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A、B的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C的正误；取时的特殊情况验证不等式，可得D的正误.【详解】对于A，若，则，当时，，显然时也满足，故，由，则为等差数列，故A正确；对于B，若，则，，，显然，所以不是等比数列，故B错误；对于C，因为为等差数列，则，故C正确；对于D，当时，，故当时，不等式不成立，即不成立，故D错误．故选：AC．11．已知函数，是其导函数，，恒成立，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进而得解.【详解】设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，，即，，因为，所以，，故C错误，D正确．故选：ABD．12．如图，正四棱锥的底面边长与侧棱长均为，正三棱锥的棱长均为，（    ）A．B．正四棱锥的内切球半径为 C．，，，四点共面D．平面 平面【答案】ACD【分析】结合选项逐个验证，线线垂直通常转化为线面垂直，锥体的内切球半径通常采用分割法求解，四点共面借助余弦定理来判断，平面与平面平行通常借助线面平行来判断.【详解】对于A，取的中点，连接，，则，，又，平面，，所以平面，因为平面，所以，又，所以，故A正确.对于B，设内切球半径为，易求得四棱锥的一个侧面的面积为，所以，解得，故B错误.对于C，取的中点，连接，，，，易知，，，所以，分别是二面角，二面角的平面角，易求得，所以，，又，，所以与互补，所以，，，共面，故C正确因为，，，共面，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，故D正确．故选：ACD. 三、填空题13．已知向量，，且，则______．【答案】【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m，即可由坐标计算向量模.【详解】，由得，解得．则，故．故答案为：.14．已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【分析】由是与的等比中项，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立．故的最小值为．故答案为：15．已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】##【分析】求得在点处的切线方程，从而求得正确答案.【详解】依题意，，所以，故函数的图象在处的切线为，切线向上的方向与y轴正方向的夹角为，函数的图象绕原点旋转不超过时，仍为某函数图象，若超过，y轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故的最大值为．故答案为：16．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，则该几何体的外接球的表面积为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，运用空间坐标计算出外接球的球心和半径即可.【详解】以正方形ABCD的中心O为原点，过O点平行于AB的直线为y轴，过O点平行于BC的直线为x轴，EF的中点为M，以直线OM为z轴，建立空间直角坐标系如图：过F点作平面ABCD的垂线，垂足为G，在 中， ，由余弦定理得： 在 中， ， ，外接球的球心 必定在线段OM上，设 ，则有： ，即 ，解得： ，即O就是外接球的球心，外接球半径 ，所以外接球表面积 ；故答案为： . 四、解答题17．在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)根据条件，结合等比数列基本量，列等式求，即可求数列的通项公式；（2）根据（1），再利用裂项相消法求数列的和，根据数列的单调性，即证明不等式.【详解】（1）设数列的公比为q，由题意知，即，因为，，所以，所以，所以．（2）证明：由（1）得，所以，所以，所以．显然单调递增，所以，因为，所以，所以．18．产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位，好的宣传对产品打开市场，提高销售额有着重要的作用．某生产企业通过市场调研发现，年销售量y（万件）与宣传费用x（万元）的关系为．已知生产该产品y万件除宣传费用外还要投入万元，产品的销售单价定为元，假设生产的产品能全部售出．(1)求产品的年利润的解析式；(2)当宣传费用为多少万元时，生产该产品获得的年利润最大？【答案】(1)(2)1万元 【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本和宣传费用，写出函数解析式即可；(2)结合（1）的解析式，利用基本不等式即可求出最值，进而求解.【详解】（1）．（2）由（1）知，所以，当且仅当，即时等号成立．所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大．19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．(1)求B；(2)若的周长为，求BC边上中线的长．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求.（2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC边上中线的长．【详解】（1）由，有，又，所以，即，由余弦定理，得．又，所以，由及正弦定理，得，所以，由，得，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，所以，由，得．因为的周长为，所以，解得．设BC的中点为D，则，如图所示:在中由余弦定理，得：，所以BC边上中线的长为．20．如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，AD的中点，平面ABCD，平面ABCD，AC与EF交于点M，，，．(1)证明：平面PMC；(2)求点B到平面PEF的距离；(3)求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)1(3)90°． 【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）将点B到平面PEF的距离，转化为点O到平面PEF的距离，结合相似三角形对应边成比例求得正确答案.（3）判断出二面角的平面角，解三角形求得二面角的大小.【详解】（1）连接BD，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以．因为四边形ABCD为正方形，所以，又，所以，又AC，平面PMC，，所以平面PMC．（2）由（1）知，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF．设AC与BD的交点为O，则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离，由（1）知平面PMC，又平面PEF，所以平面平面PMC，作，N为垂足，因为平面平面且交线为，平面PMC，所以平面PEF．因为，，E，F为AB，AD的中点，所以，，，由得，得，即点B到平面PEF的距离为1．（3）由平面PMC可得，同理可证，所以为二面角的一个平面角，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，同理，又，，所以，所以，即二面角的大小为90°．21．如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成，点G为的中点，D为圆柱上底面的圆心，DE为半个圆柱上底面的直径，O，H分别为DE，AB的中点，点A，D，E，G四点共面，AB，EF为母线．(1)证明：平面BDF；(2)若平面BDF与平面CFG所成的较小的二面角的余弦值为，求直线OH与平面CFG所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）过构造与平面平行的平面，通过面面平行，即可证明线面平行；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合已知二面角的余弦值求得圆柱的高与底面半径之间的关系，再由向量法求解线面角即可.【详解】（1）证明：取EF的中点M，连接OM，HM，又O为DE的中点，所以，又平面BDF，平面BDF，所以∥平面BDF，因为，，H，M分别为AB，EF的中点，所以，且，所以四边形BFMH为平行四边形，所以，又平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，又OM，平面OMH，，所以平面平面BDF，因为平面OMH，所以平面BDF．（2）由题意知CB，CF，CD两两垂直，故以点C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，，，，，，，所以，，，，．设平面BDF的一个法向量，则，即令，解得，，所以；设平面CFG的一个法向量，则，即令，解得，，所以，所以，化简，得，所以，所以，．设OH与平面CFG所成的角为，所以．22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，若，且，使得，证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号即可得出答案；（2）不妨设，由，得，构造函数，利用导数证明，再通过放缩构造新的函数，进而可得出结论.【详解】（1）解：的定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：，由题意知，，不妨设，使得，所以，整理，令，，则，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以．下面证明，即证明，设，即证明，只要证明,设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以．【点睛】思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.