2023届江苏省盐城市高三上学期11月阶段考试数学试题含解析

这是一份2023届江苏省盐城市高三上学期11月阶段考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省盐城市高三上学期11月阶段考试数学试题 一、单选题1．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“，”的否定为 “，”.故选：C.2．无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（    ）A．   B． C． D．【答案】D【分析】判断中的不等式不成立，观察图形：大正方形的面积比个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，因此（当且仅当时等号成立），整理即可判断D;结合D的分析可判断C.【详解】对于A，取，则，说明不等式错误，故A错误；对于B，取，则，即错误，故B错误；对于D,从图形可以看出大正方形的面积比个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，即时，两个面积相等，因此，所以，（当且仅当时等号成立），对于C，由D的分析可知，即，时，，故C错误；故选：D．3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ）(参考数据：)A． B． C． D．【答案】B【解析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.4．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求出原函数的导函数与导函数的导函数，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】，，，则曲线在点处的曲率为故选：A.5．如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（    ）A． B．C． D． 【答案】A【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由 求出的长即可.【详解】解：如图所示：由题意得：，在中，，即，整理得：；在中，，即，整理得：，则.故选:A.6．函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不同的实数解，，则的取值范围是（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象可知，并可知的范围，然后根据函数的对称性可得，最后计算，简单判断可得结果.【详解】由题可知：又，∴，因为，所以，由对称性可得：，又,,所以.故选：C【点睛】本题考查根据三角函数图象求解解析式以及三角函数对称性的应用，本题难点在于计算求得以及的范围，考查观察能力以及分析能力，属中档题.7．已知数列的通项公式是，则（    ）A．0 B．55 C．66 D．78【答案】D【解析】先分为奇数和偶数两种情况计算出的值，可进一步得到数列的通项公式，然后代入转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当为奇数时，，当为偶数时， 所以当为奇数时，；当为偶数时，，所以                  故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.8．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，依题意，设，，设，，故，又，异面直线与成的角，故，即，即，，故，又，故.故选：B. 二、多选题9．已知，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题可知，然后再这个大前提下，对选项逐一判断即可.【详解】已知，，且，所以，对于A选项，，故错误；对于B选项，，为增函数，所以，故正确；对于C选项，均为正数，且不相等，所以，故正确；对于D选项，，所以，故错误.故选：BC10．下列命题正确的是（    ）A．在中，若，则B．若且，则C．已知复，，则D．已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为【答案】AD【分析】对于A：因为，大角对大边，结合正弦定理，即可判断A是否正确；对于B：当时，与任意向量平行，则与关系不能确定，即可判断B是否正确；对于C：虚数不能比较大小，即可判断C是否正确；对于D：根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可判断D是否正确．【详解】解：对于A，在中，，则，根据正张定理：（其中R为外接圆半径），∴，故A正确；对于B，当，尽管有且，但与不一定平行，故B错误；对于C，当复数以虚数形式呈现时，不可比较大小，故C错误；对于D，如图建系，如图是边长为2的正三角形的直观图，则，为正三角形的高的一半，即则高，三角形的面积为：．故D正确.故选：AD．11．已知函数，则（    ）A．函数在原点处的切线方程为B．函数的极小值点为C．函数在上有一个零点D．函数在R上有两个零点【答案】AD【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可；对于B，先对函数求导，然后使导函数等于零，再判断增减区间，从而可函数的极值点；对于C，由于当时，恒成立，所以在上无零点；对于D，令，解方程可得其零点【详解】函数，得，则；又，从而曲线在原点处的切线方程为，故A正确．令得或．当时，，函数的增区间为，；当时，，函数的减区间为．所以当时，函数有极大值，故B错误．当时，恒成立，所以函数在上没有零点，故C错误．当时，函数在上单调递减，且，存在唯一零点；当时，函数在上单调递增，且，存在唯一零点．故函数在R有两个零点，故D正确．故选：AD【点睛】本小题以函数与导数为载体，考查切线方程、极值、零点等基础知识，考查数学建模能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性和应用性．12．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ）A．数列不是等比数列B．C．对于一切正整数都有与3互质D．数列中按从小到大的顺序选出能被5整除的项组成新的数列，则【答案】BCD【分析】由题意可得，进而，即可判断A；求出，可得，由裂项相消法可判断B; 由结合互质的概念可判断C；由求出能被5整除的项，结合周期性可判断D【详解】对于A：由得，即，所以，所以，所以数列是公比为2的等比数列，故A错误；对于B：由A可知，所以，，所以，故B正确；对于C：由得不是整数，故与3得公因数只有1，所以与3互质，故C正确；对于D：被5整除的项为，，，又，所以，故D正确；故选：BCD 三、填空题13．一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）【答案】【分析】根据棣莫弗定理计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题关键．14．某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗杆顶端的仰角分别是，已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为__________（取，小数点后保留一位有效数字）【答案】23.6米【分析】设第一排的观测点为，最后一排的观测点为，旗杆的顶端为，先求出，再由正弦定理即可求出.【详解】设第一排的观测点为，最后一排的观测点为，旗杆的顶端为，依题意，得，，则，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案为：23.6米.15．若，则______．【答案】【分析】，可得，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．【详解】，，，化为：，，，解得．，故答案为【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知三棱锥，侧面底面，则_____________________．，三棱锥外接球的表面积为________________________．【答案】          【详解】解：（1）取BC中点D，连接PD，AD.由题知，和均为正三角形且边长为，故.面PBC面ABC，由面面垂直的性质知PD面ABCAD面ABC，在Rt中，.（2）设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，故O到面ABC和面PBC的射影均为和的中心E、F，即四边形OFDE为正方形，在中，,则球的表面积.故答案为：. 四、解答题17．已知（1）求的最小正周期和最大值；（2）若，的周长为12，且，求的面积.【答案】（1）最小正周期，最大值为；（2）.【解析】（1）逆用二倍角公式化为同名三角函数，再利用及正余弦函数的值域即可（2）由及余弦定理和面积公式即可得解.【详解】（1），的最小正周期当时，即时，的最大值为.（2）又，得即因为，故因为，的周长为12，所以.由余弦定理得：，即，所以.故【点睛】本题考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换、正余弦定理、面积公式等.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）若，，点在线段上，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明平面后可证得面面垂直；（2）先求得三棱锥的体积，然后由体积比得结论．【详解】（1）证明：由题意是等边三角形，又也是等边三角形，是中点，所以，，而，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由已知，又，所以，所以，所以，，因为，所以，所以．.【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求棱锥的体积，在求三棱锥体积时除常用　换底技巧外还要注意体积公式的应用，利用体积公式可得等高的棱锥的体积比等于其底面积之比，同底（或等底面积）的棱锥的体积比等于高的比，高的比又可转化为棱长之比．19．已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；（2）求使得成立的最小正整数的值.【答案】（1）等比数列，理由见解析；（2）12.【分析】（1）先利用条件求出的通项公式，代入得到的递推关系，再利用定义法证明是等比数列；（2）先根据（1）的结果求的通项公式，采用分组求和的方法求解出的结果，再根据其单调性得到满足条件的最小正整数值即可.【详解】解：（1）依题意，，当时，，即，故，则，故，故，而，故是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，故，记，故，易见是递增数列，又，，故满足的最小正整数的值为12.【点睛】本题考查了等差、等比数列的综合应用，涉及到定义法证明等比数列以及与数列有关的不等式问题，属于中档题.20．已知函数，且.（1）求的单调递减区间；（2）若，求的值.【答案】(1) 单调递减区间为； (2) .【分析】（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出，然后由可得结果．【详解】（1） ．∵，∴，∴的最大值为1，最小值为．又，且，∴函数的最小正周期为，∴，∴．由，得，∴的单调递减区间为．（2）由（1）得，∴．∵，∴，∴．∵且，∴，∴．∴．【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响．（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．21．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可【详解】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH.∵平面PBC，平面平面，∴.（2）∵圆锥的母线长为，，∴，，以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，，，为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为，则，令，则所以当时，即时，最大，亦最大，此时，所以.22．已知函数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意得出对恒成立，即对恒成立，求出的最大值，得出的取值范围；（2）根据一元二次方程根的分布求出，，结合得出，构造函数，利用导数得出，从而得出实数的取值范围.【详解】解（1）对恒成立，即对恒成立，令，，即在上递增，，故的取值范围为；（2）若有两极值点，即在上有两根，，，则.，，，，，，，令，，令，，，，，，即在递减，，， 故的取值范围为.