高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀课时练习

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点梳理】
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.




二次函数
（）的图象




有两相异实根

有两相等实根

无实根








知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立问题





【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
例2．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式的解集是（       ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，分析即可得答案.
【详解】
由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.
故选：B
例3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【详解】
解：依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或
故选：B．
例4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
例5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
例6．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
例7．（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】
由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
例8．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.
【详解】
依题意，，是方程的两个根，且，
于是得，解得：，
因此，不等式为：，解得，
所以不等式 的解集是.
故答案为：
例9．（2018·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若不等式的解集是，则实数_____，_____．
【答案】         
【解析】
【分析】
由一元二次不等式解集，结合对应一元二次方程根与系数关系即可求参数a、b.
【详解】
由题设及对应方程根与系数关系知：，.
故答案为：，.
【方法技巧与总结】
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
例10．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
例11．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
例12．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，解关于x的不等式
【答案】(1)或；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用二次不等式的解法即可得解；
（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.
(1)
当时，由，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
(2)
由可得，
当时，方程的两根分别为，.
当时，，解原不等式可得；
当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
例13．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)时，解集为；
时，解集为；
时，解集为或
【解析】
(1)的解集为，和是方程的两个根，∴，解得：.
(2)不等式，
可化为：.
当时，原不等式即为，．
当时，原不等式化为，或.
当时，原不等式为，可化为
因，．
综上，
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为或
例14．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)、
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
(1)
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
(2)
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
【方法技巧与总结】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
题型四：一次分式不等式的解法
例15．（2022·吉林延边·高一期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.
【详解】
由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
例16．（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.
【详解】
可化为，
，等价于，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
例17．（2022·全国·高一期末）不等式的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.
【详解】
，
解得不等式解集为或
故答案为：或.
例18．（2022·上海师大附中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】##
【解析】
【分析】
原不等式转化为，即，进而可解得结果.
【详解】
等价于，即，
等价于，
解得.
故答案为：.
例19．（2022·天津·南开翔宇学校高一期中）不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法规则求解即可.
【详解】
原不等式可化为，解得
故答案为：.
【方法技巧与总结】
分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？
（1）
（2）
（3）且
（4）且
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
例20．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件可建立方程，解出即可；
（2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案.
(1)
由题意得： ，
即
(2)
由（1）得
设第天发生危险，由题意得 ，即，得．
所以汛期的第9天会有危险
例21．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？
【答案】.
【解析】
【分析】
根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
由题意可得：，
解得：.
例22．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)10米
(2)平方米
【解析】
【分析】
（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米；
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米
例23．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】(1)15米
(2)864平方米
【解析】
【分析】
（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.
（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得，
∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴，
∴，解得，
又，∴，
草坪宽的最大值为15米．
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意可得
，
当且仅当时，等号成立，
∴整个绿化面积的最小值为864平方米．
例24．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】(1)40
(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.
【解析】
【分析】
（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解
(1)
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米

解得：
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米
(2)

整理得：
除以得：
由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.
【方法技巧与总结】
利用不等式解决实际问题需注意以下四点
(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．
题型六：不等式的恒成立问题
例25．（2022·江西师大附中高一期中）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
分离参数，求出的取值范围即可得到答案.
【详解】
解：∵不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又
所以.
故答案为：.
例26．（2022·江苏·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】或
【解析】
【详解】
本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】
当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是或.
例27．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
例28．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出的最大值，然后可得，解出即可.
【详解】
因为关于的不等式在上有解，
的最大值为4
所以，解得
故答案为：
例29．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况分析求解即可
【详解】
当时，不等式为满足题意；
当时，需满足，
解得
综上可得，a的取值范围为，
故答案为：
例30．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可．
【详解】
解：令，则，故，
对任意，，则恒成立，
∴
∴，此时，
∴，当时取等号，
此时成立，
∴的最大值为．
故答案为：．
例31．（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．
【答案】     或.         
【解析】
【分析】
根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.
【详解】
对于（1），因为方程有实根，故，解得或.
对于（2），因为不等式的解集为，故，解得.
对于（3），不等式的解集为R，故，故.
例32．（2022·全国·高一专题练习）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.
【详解】
对于任意的，不等式，即，
因此，对于任意的，恒成立，
当时，，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，取得最小值4，则，
所以实数的取值范围是.
例33．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
对目标式分离参数，结合基本不等式，即可求得参数的取值范围.
【详解】
不等式即为：，
当时，可变形为：，即.
又，
当且仅当，即时，等号成立，
，即.
故实数的取值范围是：.

【方法技巧与总结】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.
【详解】
解：当时，恒成立，符合题意；
当时，由题意有，解得，
综上，.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）若不等式的解集是，则的值为（       ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】
由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
3．（2022·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.
【详解】
的图象都在轴上方，
①时，k＝－5或k＝1，
k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；
k＝1时，y＝3满足条件；
故k＝1；
②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，
则，解得；
综上，.
故选：A.
4．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）不等式的解集为，则的解集为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.
【详解】
由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得，
故所求不等式为，即，解得.
故选：A.
5．（2022·湖南·高一课时练习）一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（       ）
A．a>0,Δ>0 B．a>0,Δ