2023届河南省洛阳市六校高三上学期10月份联考数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省洛阳市六校高三上学期10月份联考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省洛阳市六校高三上学期10月份联考数学（理）试题 一、单选题1．已知全集，集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法表示全集，进而进行集合间的运算.【详解】由已知得，则，所以，故选：B.2．已知函数 ，若，则（    ）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【分析】构造函数，利用其奇偶性求解.【详解】设，则，所以是奇函数．因为，所以，则f(－a)＝1．故选：B3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据指数函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为，可得，根据指数函数的性质，可得，即充分性成立；反之：由，结合指数函数的性质，可得，即，即必要性成立，所以是的充要条件.故选：C.4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．【详解】由正弦定理得，且，所以，即．因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．故选：B.5．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．（1，4）【答案】A【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．当时，，由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．当时，单调递增，则，所以，可得．故选：A6．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值.【详解】因为的图象关于对称，则是偶函数，，且，所以，对任意的恒成立，所以，，因为且为奇函数，所以，，因此，.故选：B.7．已知曲线在点处的切线与直线l：垂直，则等于（    ）A． B． C．1 D．－1【答案】B【分析】求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，结合题意列式得到答案.【详解】因为曲线在点M处的切线与直线垂直，所以，解得．故选：B.8．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，，点P在线段CD上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解.【详解】如图，为圆心，连接，则.因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，则，即的取值范围是.故选：A9．已知为虚数单位，且复数满足：，则下面关于复数的三命题：①复数的虚部为；②；③复数的共轭复数对应的点在第一象限，其中正确命题的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的四则运算化简，再逐项判断即可.【详解】由，所以，则，所以复数的虚部为，①错误；，所以②错误；，所对应的点在第一象限，故③正确；故选：D.10．设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据题意可得，从而根据单调性可得，进而得出结果.【详解】由题意，在上的函数恒成立，构造函数，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B11．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（    ）A．14 B．16 C．24 D．25【答案】B【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.【详解】解：因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，由可求得，（舍）所以，，则．由三角形内切圆的性质可知所以，，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．故选：B．12．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，构造函数利用导数即可求出.【详解】令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当时，，单调递减，，解得，符合，当，在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合，综上，.【点睛】方法点睛：本题考察双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围. 二、填空题13．写出一个同时满足下列条件的非常数函数__________．①在单调递减     ②值域     ③【答案】（答案不唯一）【分析】根据该函数满足的条件，可写出其中符合条件函数的一个解析式.【详解】根据函数要同时满足的条件可知，该函数可以为：，故答案为：14．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则______．【答案】【分析】由为偶函数可知关于对称，结合奇函数性质可推导得到是周期为的周期函数，可将所求函数值化为，由可求得结果.【详解】为偶函数，关于对称，即；为上的奇函数，，，则，，，是周期的周期函数，，又，，.故答案为：.15．已知函数，，，且在上单调,则的最大值为_________.【答案】5【详解】解答：函数f(x)=2sin(ωx+φ)，∴f(−)=2sin(−ω+φ)=0，∴−ω+φ=kπ，k∈Z①；又f(−x)=f(+x)，∴x=是f(x)图象的对称轴，∴ω+φ=k′π+π2,k′∈Z②；由①②得,φ=k+k′2π+，k∈Z，∴取φ=，且ω=−4k+1，k∈Z；∴f(x)=2sin(ωx+)的最小正周期为T=；又f(x)在上单调，∴−⩽,即⩽，解得ω⩽6；综上，ω的最大值为5.故答案为5.点睛：等价于对称中心为（，0）；等价于对称轴为x=；在上单调隐含者区间长度小于等于周期的一半.16．设函数，．以下四个命题：（1）在（0，f（0））处的切线方程为2x－y＋1=0；（2）有两个零点：（3）有两个极值点．其中正确的有______．【答案】（1）（2）【分析】由导数的几何意义，指数函数与正弦函数图象，极值点的概念对选项逐一判断，【详解】由题意得，而，，则在（0，f（0））处的切线方程为，故（1）正确，由指数函数与正弦函数图象可知，与在有两个交点，故（2）正确，令，则，当，，故在单调递增，，，故只有1个极值点，故（3）错误，故答案为：（1）（2） 三、解答题17．已知：在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合(1)当时，求；(2)若_______，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)选①，；选②，；选③，或 【分析】（1）将代入集合，再运用集合的交集运算即可得到答案；（2）若选①，可得到，然后分和两种情况进行分类讨论，建立不等式即可得到答案；若选择②和③，用同样的方法即可【详解】(1)当时，，因为，所以；(2)选①，因为，所以，若，，解得，满足题意；若，由可得即，解得，综上所述，的取值范围为；选②，因为“”是“”的充分不必要条件，所以，若，，解得，满足题意；若，由可得即，解得，当时，，满足题意；当时，，满足题意；综上所述，的取值范围为；选③，，若，，解得，满足题意；若，由可得或，整理可得：（舍去）或，可得：，综上所述，的取值范围为或18．在中，角、、的对边分别是、、，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】(1)解：由可得，所以，，由正弦定理得，，、，则，所以，，故.(2)解：由正弦定理可得，则，，，，则，所以，，故.19．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.【答案】（2），函数的值域为;（2）.【分析】(1)将函数化简整理，根据正三角形的高为，可求出，进而可得其值域；(2)由得到，再由求出，进而可求出结果.【详解】(1)由已知可得，又正三角形的高为，则，所以函数的最小正周期，即，得，函数的值域为．(2)因为，由(1)得，即，由，得，即＝，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.20．已知函数．(1)若0是函数的极小值点，求实数a的值；(2)若在R上是增函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）0是函数的极小值点，则直接由得出答案，后多次求导检验即可；（2）在R上是增函数，转化为恒成立问题，再通过参变分离得，构建新函数利用导数求出的最小值即可得出答案.【详解】(1)由题意得：，是函数的极小值点，，故．检验：当时，，令，则，所以，得，则在上递增， ，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点．(2)，，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，则，令得，令得，即在上单调递减，在上单调递增，则，故．21．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)的递增区间为，无递减区间；(2) 【分析】(1)对求导，得，令，对求导，利用 的正负确定的单调性及最小值，从而确实的正负及的单调区间；(2)由(1)可得，然后分a≤2和a＞2两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.【详解】(1)解：当时，，求导，设，则，令 ，解得： ；，，∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，则，∴在（0，+∞）上恒成立，∴的递增区间为（0，+∞），无递减区间；(2)解：，由（1）知：＝，又因为在（1，+∞）单调递增，则g（x）≥g（1）＝2，①当a≤2时，，在[1，+∞）单调递增，∴，满足题意．②当a＞2时，设，则，当时，，∴在[1，+∞）递增， ，，∴∃，使，∵在[1，+∞）单调递增，∴当时，＜0，即＜0，所以在上单调递减，又，∴当时，，不满足题意．∴的取值范围为，综上可知：实数的取值范围（﹣ ，2]．22．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.(1)当，时，求函数的不动点；(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）由题意，根据不动点定义，列方程，解得答案；（2）由题意，根据二次方程根的判别式，结合二次函数的性质，可得答案；（3）由题意，根据韦达定理，整理函数，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】(1)，由，解得或，所以所求的不动点为或.(2)令，则①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即恒成立，则，故.(3)设，，，，又的中点在该直线上，所以，，而应是方程①的两个根，所以，即，，当时，.