高考数学一轮复习难题复习 平面解析几何典型解答题 （2份打包，教师版+学生版）

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一轮难题复习 平面解析几何典型解答题1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：(1)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|＝.(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．特别提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离．判断方法：代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含．判断方法：代数判断法与几何判断法．6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b 离心率e＝＝(0<e<1)e＝＝(e>1)e＝1准线  x＝－渐近线 y＝±x  7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.8．解决范围、最值问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．9．定点问题的思路(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．10．求解定值问题的两大途径(1)→(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．11．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论． 例题1．一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.【答案】解：(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，，由抛物线定义知：分(2) 依题意，随着的增大，点无限接近点分横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近分 所以 =分(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且其中分∴，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，所以当为偶数时，，于是，又∴当为奇数时，分当为偶数时，当为奇数时，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，分方法二：由题意知其中观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．并由数学归纳法可以证明． 分所以，当为偶数时， 当为奇数时，当为偶数时，当为奇数时，分所以，分 【解析】【详解】试题分析：（1）直接借助题设求解即可获证；（2）运用题设条件和极限思想表示出来再求解即可；（3）运用题设中提供的信息分类进行求解．试题解析：（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，，由抛物线定义知：．（2）依题意，，，（）随着的增大，点无限接近点，横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近，所以．（3）方法一：设点，则题意，的坐标满足如下递推关系：，且，（）其中，∴，即，∴是以为首项，2为公差的等差数列，∴，所以当为偶数时，，于是，又，∴当为奇数时，，，当为偶数时，当为奇数时，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，．方法二：由题意知，，，，，，…其中，，，，…，，，…观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为4的等比数列，相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列，下标为偶数的点也有此规律，并由数学归纳法可以证明．所以，当为偶数时，当为奇数时，，当为偶数时，当为奇数时，所以，．考点：函数和数列的知识及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．例题2．已知椭圆的两焦点分别为，，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两直线、分别交椭圆于、两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设，由题意可知与，联立求解即可.（2）由题意可知，的斜率为－1，的斜率为1，确定直线方程与直线的方程，然后分别与椭圆联立，求解，两点坐标，即可.（3）由题意可知，直线、的斜率必存在，设的方程为：，与椭圆联立，求解点坐标，同理求解点坐标，求直线的斜率，即可.【详解】（1）由题可得，，设则，.∴即∵点在曲线上，则.解得点的坐标为.（2）当直线经过点时，则的斜率为－1，因两条直线、的倾斜角互补，故的斜率为1，由得，，即，故，同理得，∴直线的方程为（3）依题意，直线、的斜率必存在，不妨设的方程为：.由得，设，则，，同理，则，同理.所以，的斜率为定值.【点睛】本题考查求两曲线交点坐标，直线与椭圆的位置关系以及定值问题.属于难题.例题3．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物．建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米. 双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略.）（1）如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100，俯视图为三个同心圆，其半径分别40，，30，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（为长度单位米）；（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，，绕轴旋转形成的旋转体的体积多少？（用表示）.（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4（底部），最薄处厚度为0.3（喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是？并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是多少；（计算时取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.【答案】（1），；（2），，；（3）万元.【解析】【分析】（1）由最窄处距离可求得；根据时，；时，，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；（2）首先求得双曲线旋转体的体积和内层双曲线方程，计算得到体积差的函数关系式，分别代入和可求得体积差，加和得到所求体积；（3）由（2）可推得高度时的几何体体积；将在高度米以内的薄壳体积的建筑费用分为高度米以内和高度在米之间两类分别计算；设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列，易得通项公式；由双曲线对称性可知，进而可计算出此部分对应的建筑费用；综合三部分的费用即可得到结果.【详解】（1）最窄处即双曲线两顶点间       设双曲线的标准方程为：由题意知：当（地面半径）时对应的值是；当时，的值为，解得：双曲线的标准方程是，（2）高为的双曲线旋转体的体积是：其旋转体相当于一个底面半径为，高为的圆柱与底面半径为，高为倒立圆锥的体积之和.计算内层双曲线方程为：高为时双曲线旋转体的体积差为：当与时，计算上述体积差，分别为，，合计约为立方米冷却塔的建筑体积约为立方米（3）由（2）知高为的双曲线冷却塔壳体体积为立方米立方米当高度时，其几何体体积为：于是在高度米以内的薄壳体积的建筑费用：第一部分，高度米以内的体积：相应施工费用为：（元）第二部分，高度在米之间的部分体积相应施工费用为：（元）设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列注意到双曲线的对称性，本题中的冷却塔喉部在高度米处，其上方米，下方处恰为高度米处，于是又数列是等差数列       这部分费用为：其中为（2）中时壳体的体积，其值约为这部分施工费用约为（元）综上，本题中所求的施工总费用元，约万元【点睛】本题考查圆锥曲线中的双曲线的实际应用问题，考查了双曲线方程的求解、双曲线几何性质的应用、曲线旋转所得几何体体积的求解等知识；本题对于学生分析和解决问题的能力有很高的要求，属于难题.例题4．如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．【答案】见解析【解析】【详解】（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”．（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，①若直线与曲线C1有交点，则化简得，②由①②得，但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点” ．【考点定位】考查双曲线，直线，圆的位置关系，综合性较强，属难题．