甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第二次检测数学（理）试题（含答案）

这是一份甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第二次检测数学（理）试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则，
3．已知向量，，其中，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列满足，且，则（ ）．
A．B．2C．D．
5．在平行四边形ABCD中，，设，，则（ ）．
A．B．C．D．
6．在等比数列中，，，则（ ）．
A．2B．C．2或D．或
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）．
A．9B．8.5C．11D．10
8．一质点在平面上的三个力，，的作用下处于平衡状态，已知，成90°角，且，的大小分别为2N和4N，则的大小为（ ）．
A．6NB．2NC．D．
9．数列，用图象表示如图所示，记数列的前n项和为，则（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
10．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是（ ）．
A．5B．6C．7D．8
11．设正实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）．
A．B．C．D．
12．在中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD交于点O，且，，，，设在上的投影向量为，则（ ）．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，则与的夹角为______．
14．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则______．
15．将数列和中的所有项按从小到大排成如下数阵：
1
2 3
4 5 7
8 9 11 13
15 16 17 19 21
…
用表示第i行第j列的数，则______．
16．在中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．
（1）求B的大小；
（2）若，的周长为，求的面积．
18．（12分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处一仓库，设千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上）．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知，且．G
A
B
F
E
H
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？
20．（12分）
已知数列的各项均为正数，前n项和为，且．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知数列的前n项和，函数对有，数列满足．
（1）求列，的通项公式；
（2）已数列满足，数列的前n项和为，若存在正实数k，使不等式对于恒成立，求k的取值范围．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数值．
参考答案及解析
一、选择题
1．A
【解析】因为，
，
所以．
2．D
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，取，，，，验证，故C错误．
3．A
【解析】因为，，所以．
因为，所以，
即，解得或．
因为，所以“”是“”的充分不必要条件．
4．A
【解析】因为，所以，
故数列为周期数列且周期为3，故．
5．A
【解析】
．
6．C
【解析】因为是等比数列，所以．
又，联立解得或，
所以当时，；当时，．
7．D
【解析】画出线性约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示．
A
x
把目标函数化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，
即z最大，联立，得，即，
所以．
8．C
【解析】根据题意知，所以，
所以．
又因为，，，
所以．
9．B
【解析】由数列，的图象可知，
当时，；当时，．
当时，；当时，，
所以当时，，所以，可排除A项；
由，得，可排除D项；
由，得，可排除C项；
当时，，所以，可得B项正确．
10．D
【解析】设最上面一层放根，一共放层，则最下面一层放根，
由等差数列前n项和公式得，所以．
因为，所以n为264的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得满足题意．
11．C
【解析】因为正实数a，b满足，所以，，
所以，
所以，即．
12．D
【解析】由，
可得．
所以，则．
由正弦定理可得，则，
即，所以，
同理可得，所以，故为等边三角形．
因为，所以E为BC的中点．
又，所以D为AC靠近点A的三等分点，
x
y
↑
B
E
A
C
以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则，，，，，
因为，，
所以在方向上的投影为．
因为，所以．
二、填空题
13．
【解析】因为，，
所以，，，
所以．
又因为，所以．
14．
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
得到函数的图象．
15．1647
【解析】由，可知是第45个数，推理可知前45项中，有6项，有39项，数列的第39项为，
则
．
16．12
【解析】因为，且P为BE上任一点，
所以，如图，
由P，B，E三点共线，可得，其中，，
则，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以的最小值是12．
三、解答题
17．解：（1）由已知及正弦定理得，
所以，即．
因为C为的内角，所以，所以．
又，所以．
（2）因为，，所以．
由余弦定理，得，
所以．
所以．
18．解：（1）设等差数列的公差为d，则，解得，
故．
（2），
故．
19．解：（1）由题意，在直角三角形BCF中，
因为，，所以，所以．
又，，
在中，由余弦定理得，
所以．
由，得．
因为且，所以，所以．
（2），其中，
设，则，
所以．
当且仅当时等号成立，此时，
所以当时，修建中转站和道路的总造价M最低．
20．（1）证明：当时，，
又数列的各项均为正数，所以．
当时，，
则，
化简得，
即．
因为数列各项均为正数，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以．
（2）解：由（1）可知，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
综上，．
21．解：（1）因为，所以当时，；
当时，，
当时，符合上式，所以．
因为，
所以
因为，所以，即．
（2）由（1）得，
所以，
，
所以，
故．
所以不等式
等价于．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故．
22．解：（1）当时，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由，得，
所以当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
所以，恒成立，只要恒成立，
则，即恒成立．
令，只需，
由，得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数k的最大整数值为7．