2021如皋高二下学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2021如皋高二下学期第一次月考数学试题含答案
如皋市2020-2021学年度高二年级下学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若（i为虚数单位），则复数的实部是（ ）A.4 B.-4 C.-3 D.32.对于函数，若，则（ ）A.1 B. C.1和 D.43.下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是（ ）A.若关于x的方程有实根，则B.复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限C.，（i为虚数单位，），若，则D.是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则4.已知过点的直线与图象切于点（如图所示），且，则 （ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.-45.函数在上的最大值是（ ）A. B. C. D.6.若（i为虚数单位），则（ ）A.1 B.C. D.7.已知圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知若且，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.9.已知曲线的一条切线的斜率是，则切点横坐标可能是（ ）A. B. C. D.10.在复平面内，若复数满足，其中为正实数，则对应点的集合组成的图形可能是（ ）A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线11.定义在上的函数，满足，则下列说法正确的有（ ）A.若，则B. 在处取得极小值C. 只有一个零点D.若对任意的，恒成立，则12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（ ）A.在上为“上凸函数”B.在上为“上凸函数”C.在中，D.在中，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把箐案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知函数，则的极值是 ▲ .14.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共轭复数 ▲ . 15.函数在上单调递增，则实数的最小值是 ▲ .16.已知定义在R上的函数的导函数为，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ▲ .四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①；②复平面上表示的点在直线上；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数，；（i为虚数单位），满足_____________________.若，求：（1）复数，以及；（2）复数，以及.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18.已知函数.（1）求的单调区间；（2）对于给定的正数，若存在，使得，求正数的取值范围.19.若函数.（1）求的极值；（2）判断的零点个数，并说明理由.20.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是...除了我”.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量，，.霍尔顿发现无论AC多长，是定值1.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.（1）记，用表示；（2）求的最大值， 21.直线为函数图象上任意一点处的切线（P为切点），若函数图象上除P点外的所有点都在直线的同侧，则称函数为“单侧函数”.（1）若.（ⅰ）求在处的切线方程；（ⅱ）证明不是“单侧函数”；（2）函数，判断是否是“单侧函数”.若是，写出证明过程；若不是，请说明理由，22.（本小题满分12分）定义在上的函数在处取到极小值，（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围；（2）令，若函数的图象与x轴有两个不同的交点，，且，求证： （其中是的导函数）高二数学参考答案1-5．AADCD 6-8．CDC 9．AD 10．AC 11．AB 12．ACD 13． 14． 15． 16．17．【解答】（1）若选①，，又，所以.若选②，，又复平面上表示的点在直线上，所以，所以.若选③，得，所以.所以.（1） ，.（2），.18．【解答】（1）因为，所以．①当时，，所以的增区间为．②当时，若，；若，．所以的增区间为，减区间为．综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为．（2）法一：由（1）得，当时，取最大值．因为若存在，使得，所以，解得．所以正数的取值范围为．法二：若存在，使得，即若存在，使得．令，则，由，解得．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取到极大值，也即是最大值，最大值是.所以正数的取值范围为．【解答】（1）因为，所以．令，解得．列表如下．所以，当时，有极大值．（说明：列表时未列出或者列成扣1分）（2）①由（1）得，0是的零点.②当时，；当时，，，所以连续函数在上有零点．因为在上单调递减，所以在上有一个零点．所以在上有两个零点．（赋值方法：，使得，则）20．【解答】（1）在中，，同理可得，在中，．因为，所以．令，则．令，则，由且，解得．当时，；当时，．所以当时，取得极小值且是最小值，最小值为，所以，当时，的最大值为．（说明：的范围错且结果对扣3分）【解答】（1）（ⅰ）若，则，所以．所以在处的切线方程是． （ⅱ）令，当时，；当时，，所以不是“单侧函数”．（2）当时，是“单侧函数”．函数图象上任意一点处的切线为，即．令，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时取等号，所以是“单侧函数”．【解答】（1）因为，所以． 因为函数在处取到极小值，所以，解得．此时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取到极小值.所以符合题意，即.（说明：不检验扣1分）若对任意的，不等式恒成立，即恒成立.令，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，，即在上恒成立所以在上为减函数，，故实数的取值范围为.（说明：本小题含参讨论酌情给分，可以先取特值将参数的范围缩成再讨论）（2）由（1）得，因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以方程的两个根为，，则，两式相减得，又，则.下证：（*），即证明，∵，∴，即证明在时恒成立.因为又，所以. 所以，在上是增函数，则，从而. 故，即成立.（说明：本小题利用其他方法证明酌情评分）极大值