(新高考)高考数学一轮复习学案3.9《函数模型及其应用》(含详解)

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第9讲　函数模型及其应用


一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
常用结论
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x6，则x>65.
因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型．

根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点
(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．
(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a0)．
(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．
　某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
答案：(1)120　(2)80
考点三　构建函数模型解决实际问题(应用型)
复习指导了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用．
核心素养：数学建模、数学运算
角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0